Calcule o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 , pelo cilindro x 2 + y 2 = 2 x e pelo cone x 2 + y 2 = z 2 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular o volume limitado pelo cone

x 2 + y 2 = z 2

acima do plano z = 0 . E, delimitado lateralmente pelo cilindro

x 2 + y 2 = 2 x

Este sólido é tal que

note que a lateral é o cilindro, a base é o plano z = 0 e a tampa é o cone z 2 = x 2 + y 2 , o volume pode ser calculado usando

V = ∫ D ∫ f ( x , y ) d x d y

em que z = f ( x , y ) . Vamos escrever a nossa função e reescrever a região D , estabelecendo assim limites de integração! Saca só!

Passo 2

A função f ( x , y ) é dada pelo cone que serve como tampa, temos que

z = x 2 + y 2

A região D é delimitada pelo cilindro

x 2 + y 2 - 2 x = 0

Usando coordenadas polares da forma

x = r   c o s ( θ ) e y = r   s e n ( θ )

temos que nossa integral se torna

V = ∫ P ∫   r 2 d r d θ

em que usei o jacobiano das coordenadas polares como

∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = r

temos que P é uma circunferência de raio 1 , mas deslocada da origem, então vamos tentar analisar os limites de integração a partir da equação do cilindro dada por

r 2 - 2 r   c o s ( θ ) = 0

que nos dá um limite superior para o raio como

r = 2   c o s ( θ )

observando a figura temos também que θ varia de - π / 2 até π / 2 , de forma que temos a nossa integral como

V = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2   c o s ( θ )   r 2 d r d θ

como os limites não são constantes (a região não é retangular), a ordem da integração importa, precisamos integrar primeiro em r , pois seus limites dependem de θ , vamos fazer isso agora!

Passo 3

A integral em r é tal que

∫ 0 2   c o s ( θ )   r 2 d r = 1 3 r 3 | 0 2 c o s ( θ ) = 8 3 c o s 3 ( θ )

portanto, o nosso volume se torna

V = 8 3 ∫ - π / 2 π / 2 c o s 3 ( θ ) d θ

para resolver este problema vamos expandir o cosseno como

c o s 3 ( θ ) = c o s ( θ ) c o s 2 ( θ ) = c o s ( θ ) [ 1 - s e n 2 ( θ ) ]

temos então que a integral se torna

V = 8 3 ∫ - π / 2 π / 2 c o s ( θ ) d θ - 8 3 ∫ - π / 2 π / 2 c o s ( θ ) s e n 2 ( θ ) d θ

A primeira integral pode ser identificada como

∫ - π / 2 π / 2 c o s ( θ ) d θ = s e n ( θ ) | - π / 2 π / 2 = 2

Para a outra precisamos fazer uma substituição simples da forma

u = s e n ( θ ) e d u   = c o s ( θ ) d θ

de forma que a integral se torna

∫ - π / 2 π / 2 c o s ( θ ) s e n 2 ( θ ) d θ = ∫ - 1 1 u 2 d u

essa integral é simplesmente

∫ - 1 1 u 2 d u = 1 3 u 3 | - 1 1 = 2 3

e, finalmente, nosso volume se torna

V = 16 3 - 16 9 = 32 9

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 32 9

Exercícios de Livros Relacionados

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Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d