Ao calcular-se, por dupla integração, o volume V do sólido situado abaixo da superfície de equação z = x 2 + y 2 e acima de uma região D do plano X Y , obteve-se a seguinte soma de integrais

V = ∫ 0 1 ( ∫ 0 y ( x 2 + y 2 ) d x ) d y + ∫ 1 2 ( ∫ 0 2 - y x 2 + y 2 d x ) d y

Qual é esse sólido? É possível obter o valor do mesmo volume sem a necessidade do cálculo de uma soma de integrais? Qual o valor do volume?

Passo 1

Eaew, tudo certo contigo?

O enunciado indica que ao tentar calcular o volume de um sólido por integração dupla, encontraram a seguinte soma de integrais

V = ∫ 0 1 ( ∫ 0 y ( x 2 + y 2 ) d x ) d y + ∫ 1 2 ( ∫ 0 2 - y x 2 + y 2 d x ) d y

em que o sólido tem como tampa a superfície z = x 2 + y 2 delimitada por uma região D . O objetivo aqui é visualizar o sólido através desta soma de integrais, e então verificar se é possível escrevê-la como uma única integral, e resolvê-la! Para começar precisamos analisar estes limites de integração! Saca só!

Passo 2

Temos que a primeira integral na soma nos indica uma região que não é retangular (os limites não são constantes), temos que y está no intervalo 0 a 1 , mas x vai de zero até a reta

x = y

da mesma forma para a segunda integral, temos que y está no intervalo constante 1 a 2 e x vai de 0 até a reta

x = 2 - y

Isso nos indica a seguinte região

ou seja, nosso sólido é a parte do parabolóide entre os planos z = 1 e z = 2 , limitados lateralmente pelos planos y = x , y - 2 = x e x = 0 . Podemos escrever esse problema como uma única integral dupla? Vamos verificar!

Passo 3

Podemos se integrarmos primeiramente em y com os limites

V = ∫ 0 1 ( ∫ x 2 - x ( x 2 + y 2 ) d y   ) d x

o resultado é o mesmo! Integrando primeiramente em y , temos que

V = ∫ 0 1 ( ∫ x 2 - x ( x 2 + y 2 ) d y   ) d x = ∫ 0 1 [ ∫ x 2 - x d y ] x 2 d x + ∫ 0 1 [ ∫ x 2 - x y 2 d y ] d x

Temos que

∫ x 2 - x d y = x | x 2 - x = 2 - 2 x

e, também que

∫ x 2 - x y 2 d y = 1 3 y 3 | x 2 - x = 1 3 [ ( 2 - x ) 3 - x 3 ]

O volume se torna

V = ∫ 0 1 ( 2 - 2 x ) x 2 d x + 1 3 ∫ 0 1 [ ( 2 - x ) 3 - x 3 ] d x

Vamos integrar em x agora!

Passo 4

Podemos dividir tudo em quatro integrais da forma

V = 2 ∫ 0 1 x 2 d x - 2 ∫ 0 1 x 3 d x + 1 3 ∫ 0 1 ( 2 - x ) 3 d x - 1 3 ∫ 0 1 x 3 d x

podemos identificar que

∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 x 3 | 0 1 = 1 3

e, que

∫ 0 1 x 3 d x = 1 4 x 4 | 0 1 = 1 4

Para a integral que falta é conveniente fazer a mudança

u = 2 - x e d u = - d x

de forma que temos

∫ 0 1 ( 2 - x ) 3 d x = - ∫ 2 1 u 3 d u

que é simplesmente

- ∫ 2 1 u 3 d u = - 1 4 u 4 | 2 1 = 15 4

O volume então é dado por

V = 2 3 - 1 2 + 5 4 - 1 12 = 4 / 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 4 / 3

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