Calcule o volume limitado pelo parabolóide z = x 2 + 4 y 2 , pelo plano z = 0 e pelos cilindros y 2 = x e x 2 = y .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular o volume limitado pelo parabolóide

z = x 2 + 4 y 2

acima do plano z = 0 . E, delimitado lateralmente pelos cilindros parabólicos

y 2 = x e x 2 = y

Este sólido é tal que

note que as laterais são os cilindro, a base é o plano z = 0 e a tampa é o parabolóide z = x 2 + 4 y 2 , o volume pode ser calculado usando

V = ∫ D ∫ f ( x , y ) d x d y

em que z = f ( x , y ) . Vamos escrever a nossa função e reescrever a região D , estabelecendo assim limites de integração! Saca só!

Passo 2

A função f ( x , y ) é dada pelo parabolóide que serve como tampa, temos que

z = x 2 + 4 y 2

A região D é delimitada pelos cilindros parabólicos, a região pode ser visualizada como

Note que a interseção acontece nos pontos ( x , y ) = ( 0,0 ) e ( x , y ) = ( 1,1 ) . Com oa região não é retangular, precisamos escolher uma ordem de integração. Vamos escolher trabalhar com x indo de 0 até 1 , e y partindo de x 2 (parábola inferior) até y = x que é a parábola superior. Ou seja, nossa integral se torna

V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ( x 2 + 4 y 2 ) d y d x

Ou seja, como os limites de y dependem de x , precisamos primeiro integrar em y ! Vamos fazer isso!

Passo 3

Temos que resolver

V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ( x 2 + 4 y 2 ) d y d x = ∫ 0 1 ∫ x 2 x x 2 d y d x + 4 ∫ 0 1 ∫ x 2 x y 2 d y d x

integrando primeiro em y , temos que

∫ x 2 x d y = y | x 2 x = x - x 2

e, também que

∫ x 2 x y 2 d y = 1 3 y 3 | x 2 x = 1 3 x 3 / 2 - 1 3 x 6

usando estes resultados em nosso volume, temos que

V = ∫ 0 1 x 2 [ x - x 2 ] d x + 4 3 ∫ 0 1 [ x 3 / 2 - x 6 ] d x

distribuindo temos que

V = ∫ 0 1 x 5 / 2 d x - ∫ 0 1 x 4 d x + 4 3 ∫ 0 1 x 3 / 2 d x - 4 3 ∫ 0 1 x 6 d x

Vamos resolver essas integrais agora!

Passo 4

Todas as integrais podem ser obtidas diretamente como

∫ 0 1 x 5 / 2 d x = x 7 / 2 7 / 2 | 0 1 = 2 7

∫ 0 1 x 4 d x = 1 5 x 5 | 0 1 = 1 5

∫ 0 1 x 3 / 2 d x = x 5 / 2 5 / 2 | 0 1 = 2 5

∫ 0 1 x 6 d x = 1 7 x 7 | 0 1 = 1 7

Portanto, o volume é dado por

V = 2 7 - 1 5 + 4 3 [ 2 5 ] - 4 3 [ 1 7 ] = 3 7

Em que fiz o MMC para conseguir somar estes termos (tenha paciência que você consegue!). A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 3 7

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d