Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:

c) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x 2 + z 2 = 9 e pelo plano x + 2 y = 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que é limitadono primeiro octante pelo cilindro x 2 + z 2 = 9 e pelo plano x + 2 y = 2 . Plotando esse cilindro junto com o plano, nós temos:

Mas a gente quer só a parte positiva desse sólido, que tá no primeiro octante. Repare que no plano x y , nesse caso, a projeção do sólido é a reta y = 2 - x 2 (é só isolar y na equação do plano). Então, a gente vai prestar atenção em como as variáveis x , y e z estão variando, ou seja, em como elas são limitadas nessa região (na projeção e no espaço tridimensional). Com isso em mente, a gente consegue encontrar os limites de integração do nosso volume na equação:

V = ∫ a b ∫ c d ∫ e f d z d y d x

Vamos lá!

Passo 2

Repare que em z , nosso sólido varia conforme a altura do cilindro. Sendo assim, isolando z na equação do cilindro, temos z = ± 9 - x 2 , ou seja:

- 9 - x 2 ≤ z ≤ 9 - x 2

No plano x y , vamos ter:

Assim, observe que o x vai de 0 até 2 . E o y varia de 0 até a reta y = 2 - x 2 . Então, vamos ter:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2 - x 2

Passo 3

Agora que já temos nossos intervalos, é só montar a integral de volume:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 d z d y d x

Integrando primeiro em relação a z , temos:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 z - 9 - x 2 9 - x 2     d y d x

V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 2 9 - x 2   d y d x

Integrando agora em relação a y :

V = ∫ 0 2 2 9 - x 2 y 0 2 - x 2 d x

Aplicando os limites de integração em y :

V = ∫ 0 2   2 2 - x 2 9 - x 2   d x

V = ∫ 0 2   ( 2 - x ) 9 - x 2   d x

Passo 4

Pra integrar em relação a x , vamos separar a subtração em duas integrais:

V = ∫ 0 2   2 9 - x 2   d x - ∫ 0 2   x 9 - x 2   d x

Assim, vamos precisar usar métodos diferentes em cada integral. Na primeira integral, usando a substituição trigonométrica, vamos fazer x = 3 sin ⁡ θ , de modo que:

d x = 3 cos ⁡ θ

Além disso, quando x = 0 , temos θ = 0 e quando x = 2 , temos θ = arcsin ⁡ 2 3 . Substituindo tudo, vai ficar:

∫ 0 2   2 9 - x 2   d x = ∫ 0 arcsin ⁡ 2 3   2 9 - ( 3 sin ⁡ θ ) 3 cos ⁡ θ   d θ

∫ 0 arcsin ⁡ 2 3   2 9 - 9 sin 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ   d θ = ∫ 0 arcsin ⁡ 2 3   2 9 ( 1 - sin 2 ⁡ θ ) 3 cos ⁡ θ   d θ

Usando a identidade cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ , temos:

∫ 0 arcsin ⁡ 2 3   2 9 cos 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ   d θ

∫ 0 arcsin ⁡ 2 3   2 ∙ 3 cos ⁡ θ 3 cos ⁡ θ   d θ = 18 ∫ 0 arcsin ⁡ 2 3   cos 2 ⁡ θ d θ

Agora vamos usar outra relação trigonométrica cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) 2 :

18 ∫ 0 arcsin ⁡ 2 3   1 + cos ⁡ ( 2 θ ) 2 d θ = 9 ∫ 0 arcsin ⁡ 2 3   1 + cos ⁡ ( 2 θ ) d θ

Assim, integrando, vamos ter:

9 θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ 0 arcsin ⁡ 2 3

Aplicando os intervalos de integração:

= 9 arcsin ⁡ 2 3 + 2 5

Passo 5

Pra segunda parte da integral do volume, ∫ 0 2   x 9 - x 2   d x , vamos usar uma substituição simples, fazendo u = 9 - x 2 e

d u = - 2 x d x →   - d u 2 = x d x

Além disso, quando x = 0 , temos u = 9 e quando x = 2 , temos u = 5 . Assim, vamos ter:

∫ 0 2   x 9 - x 2   d x = ∫ 9 5 - 1 2 u   d u

Como temos um limite inferior maior do que o limites superior, a gente pode inverter o intervalo trocando o sinal da integral:

- ∫ 5 9 - 1 2 u   d u = 1 2 ∫ 5 9 u   d u

Integrando em relação a u e aplicando os intervalos:

1 2 2 3 u 2 3   5 9 = 27 - 5 5 6

Substraindo nossos resultados na equação:

V = ∫ 0 2   2 9 - x 2   d x - ∫ 0 2   x 9 - x 2   d x

Temos nosso volume:

V = 9 arcsin ⁡ 2 3 + 2 5 - 27 - 5 5 6

V = 9 arcsin ⁡ 2 3 + 1 6 11 5 - 27

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 9 arcsin ⁡ 2 3 + 1 6 11 5 - 27

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d