Calcule o volume do sólido E = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 , x 2 + y 2 ≤ 2 y .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar o volume do sólido E = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 , x 2 + y 2 ≤ 2 y .

De forma gráfica queremos encontrar o volume do seguinte sólido:

Seja E = ∫ ∫ ∫ d x   d y   d z .

Essa integral pode ser calculada a partir da subtração de outras duas, sendo elas a integral tripla sob a circunferência em coordenadas esféricas e a integral sob o cilindro nas mesmas coordenadas.

Passo 2

Bom... dessa forma, temos:

  1. Na esfera:
  2. 0 < r < 2

    0 < θ < π

    - π 2 < ϕ < π 2

  3. No cilindro:

0 < r < 2   s e n   θ

0 < θ < π

- π 2 < ϕ < π 2

Obs: nos dois casos, consideramos metade do intervalo e multiplicaremos por 2 .

Passo 3

Agora, integrando, temos:

2 * ∫ 0 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 2 s e n ϕ   d r   d ϕ   d θ   - ∫ 0 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 2   s e n   θ r 2 s e n ϕ   d r   d ϕ   d θ   ∴

2 * ∫ 0 π ∫ 0 π 2 8 3 s e n   ϕ   d ϕ   d θ - ∫ 0 π ∫ 0 π 2 8 3 s e n 3   ϕ   s e n   ϕ   d ϕ   d θ ∴

2 * 8 3 π - ∫ 0 π 8 3 s e n 3   ϕ d θ ∴

= 16 π 3 - 64 9

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 16 π 3 - 64 9

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