Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Elaboração Própria

Calcule o volume do sólido de revolução abaixo usando Cálculo de Volumes por Seções Transversais. O sólido foi feito girando a curva y = f x = x em torno do eixo x .

Passo 1

Vamos lá! Pra começar, a gente tem que usar o método de cálculo que aprendemos de Cálculo de Volumes por Seções Transversais. Pra isso, vamos lembrar do passo a passo dele:

  1. Escolher um eixo para fazer os cortes das seções transversais. Ex: E i x o   X
  2. Identificar a geometria da seção transversal e encontrar sua área. Ex: A
  3. Relacionar variáveis da fórmula da área da seção transversal com o eixo escolhido. Ex: A = A x
  4. Encontrar sobre o eixo escolhido os valores no qual o sólido está definido, isto é, encontrar os limites de integração. Ex: a , b
  5. Integrar: V = ∫ a b A x d x

E olha só! O nosso sólido já nos dá algumas dicas! O eixo x mesmo tá cheio de círculos diferentes em alturas diferentes de x ! Então vou escolher ele mesmo e a minha área vai ser a área de um círculo. Por enquanto temos:

V = ∫ A   d x

A = π R 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, agora pra fazer o terceiro passo, vamos ter que arranjar um jeito de escrever A como uma função de x . Bem, na equação da área de um círculo A = π R 2 , como π é uma constante, não vai ter jeito. Escreveremos A = A x da seguinte forma:

A x = π R x 2

Isso aiiiinda não diz muito pra gente pois não sabemos quem é R x . Mas relaxa gafanhoto, pq olhando novamente pra figura da pra pescarmos a ideia. Saca só:

E saca só aquela fatia ali em x = 4 . Pela figura conseguimos ver que o raio é a reta que sai do eixo x e toca a curva y = x , logo:

R = 4 - 0

R = 2 = f 4

Então está feito! Se em x = 4 temos R = f 4 o raio vai ter a seguinte fórmula:

R x = f x = x

E logo:

A x = π x 2

A x = π x

E ainda digo mais em! A imagem já mostra em que intervalos de x o sólido está definido! Então fechamos o passo 4 já que o sólido está definido entre 0 e 4 ao longo do eixo x e modelamos finalmente a expressão do nosso volume:

V = ∫ 0 4 π x   d x

Passo 3

Agora pra fechar com chave de ouro, só calcular o volume. Vamos ter:

V = ∫ 0 4 π x   d x

V = π x 2 2 x = 0 x = 4 = π 4 2 2 - 0 2 2

V = π 16 2

V = 8 π       u . v

Resposta

V = 8 π       u . v

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