Encontre o volume obtido pela rotação em torno do eixo x da curva: x 2 2 2 + y 2 3 2 = 1 , y ≥ 0 . (Dica: Coloque y em evidência)

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos dá a seguinte elipse

x 2 2 2 + y 2 3 2 = 1 ,   y ≥ 0

e queremos calcular o volume do sólido de revolução gerado ao rotacionar a elipse acima em torno do eixo x . Temos que que como y ≥ 0 estamos considerando apenas a parte superior da elipse! A rotação forma o seguinte elipsóide

Para resolver vamos utilizar o método dos discos! Que se trata de calcular e somar a área de discos infinitesimais que descrevem o nosso sólido! Em nosso caso, temos discos cujo raio é dado pela função

r = y ( x ) = 3 2 1 - x 2 / 2 2

em que usamos a dica do enunciado! Sendo assim, o método do disco se torna

V = π ∫ - 2 + 2 [ 3 2 1 - x 2 / 2 2 ] 2 d x

em que os limites de integração são obtidos considerando um extremo da elipse até o outro no eixo x ! Com tudo isso montado! Agora é só resolver! Vamos lá!!

Passo 2

Simplificando a expressão de nosso volume, temos que

V = 81 π ∫ - 2 + 2 [ 1 - x 2 / 4 ] d x = 81 π ∫ - 2 + 2 d x - 81 π 4 ∫ - 2 + 2 x 2 d x

Ambas integrais podem ser resolvidas usando que

∫ a b x n d x = 1 n + 1 x n + 1 | a b

em que temos para a primeira integral n = 0 e a segunda n = 2 , obtemos então que

V = 81 π [ 1 0 + 1 x 0 + 1 ] - 2 + 2 - 81 π 4 [ 1 2 + 1 x 2 + 1 ] - 2 + 2 = 81 π x | - 2 + 2 - 27 π 4 x 3 | - 2 + 2

Se avaliarmos os limites de integração, temos que

V = 81 π [ 2 - ( - 2 ) ] - 27 π 4 [ ( 2 ) 3 - ( - 2 ) 3 ] = 324 π - 108 π

ou, simplesmente

V = 216 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 216 π

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d