Calcule o volume limitado pelo parabolóide 4 z = x 2 + y 2 , pelo cilindro x 2 + y 2 = 8 y e pelo plano z = 0 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular o volume limitado pelo parabolóide

4 z = x 2 + y 2

acima do plano z = 0 . E, delimitado lateralmente pelo cilindros circular

x 2 + y 2 = 8 y

Este sólido é tal que

note que as laterais são o cilindro, a base é o plano z = 0 e a tampa é o parabolóide 4 z = x 2 + y 2 , o volume pode ser calculado usando

V = ∫ D ∫ f ( x , y ) d x d y

em que z = f ( x , y ) . Vamos escrever a nossa função e reescrever a região D , estabelecendo assim limites de integração! Saca só!

Passo 2

A função f ( x , y ) é dada pelo parabolóide que serve como tampa, temos que

z = 1 4 ( x 2 + y 2 )

O domínio é a circunferência que intercepta o plano z = 0 dada simplesmente por

x 2 + y 2 = 8 y

sendo assim, temos que resolver a seguinte integral

V = 1 4 ∫ D ∫ ( x 2 + y 2 ) d x d y

Os limites podem ser encontrados de maneira conveniente se usarmos coordenadas polares, mas como este cilindro é deslocado da origem, vamos primeiro reescrevê-lo!

Passo 3

Temos que a equação do cilindro é dada por

x 2 + y 2 - 8 y = 0

Se completarmos o quadrado, temos que

x 2 + ( y - 4 ) 2 = 16

que é uma circunferência de raio 4 fora da origem, vamos transladar a nossas coordenadas para obter

x 2 + y ' 2 = 16

em que y ' = y - 4 , como temos apenas uma translação, o jacobiano da mudança de coordenadas é

∂ ( x , y ) ∂ ( x , y ' ) = 1

e, a nossa integral se torna

V = 1 4 ∫ D ' ∫ [ x 2 + ( y ' + 4 ) 2 ] d x d y '

Agora sim podemos aplicar coordenadas polares! Vamos lá!

Passo 4

Aplicando coordenadas polares da forma

x = r   c o s ( θ ) e y ' = r   s e n ( θ )

como o jacobiano da mudança de coordenadas é simplesmente dado por

∂ ( x , y ' ) ∂ ( r , θ ) = r

temos que

V = 1 4 ∫ P ∫ ( r 2 c o s 2 ( θ ) + ( r   s e n ( θ ) + 4 ) 2 ) r d r d θ

como P é uma circunferência completa, os limites são dados simplesmente por

V = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 ( r 2 c o s 2 ( θ ) + ( r   s e n ( θ ) + 4 ) 2 ) r d r d θ

Vamos resolver as integrações agora!

Passo 5

Vamos primeiro simplificar os integrandos, se distribuirmos o produtos, temos que

V = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 ( r 2 c o s 2 ( θ ) + ( r   s e n ( θ ) + 4 ) 2 ) r d r d θ = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 [ r 2 c o s 2 ( θ ) + r 2 s e n 2 ( θ ) + 8   r s e n ( θ ) + 16 ] r d r d θ

usando a identidade trigonométrica s e n 2 ( θ ) + c o s 2 ( θ ) = 1 , temos que

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 [ r 2 + 8   r s e n ( θ ) + 16 ] r d r d θ = 1 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r 3 d r d θ + 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r 2   s e n ( θ ) d r d θ + 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r d r d θ

Como os limites de integração são constantes (a região é retangular) temos que a ordem de integração não importa, então, vamos integrar primeiro em θ , temos que

V = 1 4 ∫ 0 4 [ ∫ 0 2 π d θ ] r 3 d r + 2 ∫ 0 4 [ ∫ 0 2 π s e n ( θ ) d θ ] r 2 d r + 4 ∫ 0 4 [ ∫ 0 2 π d θ ] r d r

usando que

∫ 0 2 π d θ = θ | 0 2 π = 2 π

e que

∫ 0 2 π s e n ( θ ) d θ = - c o s ( θ ) | 0 2 π = 0

nos resta apenas as seguintes integrais

V = π 2 ∫ 0 4 r 3 d r + 8 π ∫ 0 4 r d r

a integral em r pode ser identificada como

∫ 0 4 r d r = 1 2 r 2 | 0 4 = 8

e, também

∫ 0 4 r 3 d r = 1 4 r 4 | 0 4 = 64

de forma que temos

V = 32 π + 64 π

ou simplesmente

V = 96 π

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 96 π

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