Seja f x = x + x 2 + x 2 3   , com x ∈ [ 0,2 ] . Calcule o valor médio de f e encontre uma boa aproximação para c ∈ [ 0,2 ] tal que f c = 1 2 ∫ 0 2 f ( x ) d x . (ou seja, determine a altura do

caixote que usaremos para guardar a região abaixo do gráfico de f ).

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função

f x = x + x 2 + x 2 3

E perguntou qual é o valor médio de f , ou seja

f c = 1 2 ∫ 0 2 f x d x

Pergunta de milhões: Como achar esse valor?

Precisamos substituir a função dada na fórmula do valor médio! E depois? É #partiu integrar!

Belê?

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Queremos saber o valor médio de f ( x ) no intervalo dado

f c = 1 2 ∫ 0 2 f x d x

Com f x = x + x 2 + x 2 3 , aí

1 2 ∫ 0 2 ( x + x 2 + x 2 3 ) d x = 1 2 x 2 2 + x 3 3 + 3 2 x 5 3 0 2

Beleza?

Agora nossa missão é aplicar os limites!

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

1 2 x 2 2 + x 3 3 + 3 2 x 5 3 0 2 = 1 2 4 2 + 8 3 + 3 2 2 5 3 = 1 2 14 3 + 3 4 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1 2 14 3 + 3 4 3

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Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d