Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume do sólido E , limitado abaixo pelo plano z = k e acima pela esfera z = 1 - x 2 - y 2 .   ( 0 < k < 1 )

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado pede para calcularmos o volume delimitado pelas superfícies

z = 1 - x 2 - y 2 e z = k

para isso vamos ter que calcular a seguinte integração

V = ∫ ∫ ∫ E d V '

em que E delimita a nossa região! O enunciado pede para utilizarmos coordenadas esféricas! Vamos tentar visualizar a região e encontrar os limites de integração!

Passo 2

A região é dada por

em que o plano em vermelho indica z = k , com 0 < k < 1 . E, superiormente temos a esfera z = 1 - x 2 - y 2 . Vamos usar as coordenadas cilíndricas da forma

x =   r   c o s ( ϕ ) s e n ( θ )

y =   r   s e n ( ϕ ) s e n ( θ )

z = r   c o s ( θ )

a nossa esfera é então descrita como

r   c o s ( θ ) = 1 - r 2 s e n 2 ( θ )

elevando ambos os lados ao quadrado, temos que

r 2 c o s 2 ( θ ) = 1 - r 2 s e n 2 ( θ )

o que coloca o nosso raio como

r = 1

em que usei que s e n 2 ( θ ) + c o s 2 ( θ ) = 1 . A equação do plano nos dá que

r   c o s ( θ ) = k

Portanto, temos um valor mínimo para r como

r = k c o s ( θ )

enquanto, temos que θ , deve começar em 0 e ir até o momento em que o plano e a esfera se interceptam, ou seja, quando r = 1 , de forma que

θ = a r c c o s ( k )

De forma que temos que resolver a seguinte integral

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 a r c c o s ( k ) ∫ k / c o s ( θ ) 1 r 2 s e n ( θ ) d r d θ d ϕ

Vamos começar a integrar! Bora lá!

Passo 3

Precisamos integrar primeiro em r já que seus limites são funções das outras variáveis, portanto, vamos resolver

∫ k / c o s ( θ ) 1 r 2 d r

para resolver esta integral podemos usar a regrinha

∫ a b r n d r = r n + 1 n + 1 | a b

obtemos então que

∫ k / c o s ( θ ) 1 r 2 d r = 1 3 [ 1 - k 3 c o s 3 ( θ ) ]

Substituindo o resultado em nosso volume, obtemos que

V = 1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 a r c c o s ( k ) [ 1 - k 3 c o s 3 ( θ ) ] s e n ( θ ) d θ d ϕ

Bora resolver a integração em θ agora! Bora Bora!

Passo 4

Podemos dividir nossa integral em duas da seguinte forma

V = 1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 a r c c o s ( k ) s e n ( θ ) d θ d ϕ - k 3 3 ∫ 0 2 π �� 0 a r c c o s ( k ) s e n ( θ ) c o s 3 ( θ ) d θ d ϕ

A integral do primeiro termo pode ser identificada diretamente como

∫ 0 a r c c o s ( k ) s e n ( θ ) d θ = - c o s ( θ ) | 0 a r c c o s ( k ) = 1 - k

Agora, para a segunda integral é conveniente fazer a substituição simples

u = c o s ( θ ) e d u = - s e n ( θ ) d θ

de forma que obtemos

∫ 0 a r c c o s ( k ) s e n ( θ ) c o s 3 ( θ ) d θ = - ∫ 1 k 1 u 3 d u

em que usei u ( 0 ) = 1 e u ( a r c c o s ( k ) ) = k , temos que

∫ 1 k 1 u 3 d u = u - 3 + 1 - 3 + 1 | 1 k = - u - 2 2 | 1 k

ou simplesmente

∫ 0 a r c c o s ( k ) s e n ( θ ) c o s 3 ( θ ) d θ = 1 2 [ k - 1 - 1 ]

Nosso volume se torna então

V = 1 3 [ 1 - k ] ∫ 0 2 π d ϕ - k 3 3 [ 1 2 ( k - 2 - 1 ) ] ∫ 0 2 π d ϕ

Estamos quase lá! Vamos resolver a última integral que falta!

Passo 5

A integral em ϕ pode ser identificada diretamente como

∫ 0 2 π d ϕ = ϕ | 0 2 π = 2 π

Obtemos então para o nosso volume

V = 2 π [ 1 - k ] 3 - 2 π k 3 3 [ 1 2 ( k - 2 - 1 ) ]

Vamos precisar reescrever um pouco isso para obter a nossa resposta! Vamos distribuir o produto do segundo termo, temos que

V = 2 π [ 1 - k ] 3 - π k 3   + π k 3 3 = π 3 [ 2 - 2 k - k + k 3 ]

isso é equivalente à

V = π 3 [ 2 - 3 k + k 3 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = π ( 2 - 3 k + k 3 ) 3

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d