Calcule a massa do sólido limitado pelo cone z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 1 ; se a densidade de massa e dada por f x ;   y ;   z = x 2   +   y 2   +   z 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar a massa do sólido limitado pelo cone z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 1 , ou seja:

Lembrando que a densidade ρ é dada pela divisão da massa pelo volume e que:

ρ = f x ;   y ;   z = x 2   +   y 2   +   z 2

Para calcularmos a massa m , temos que saber que:

m = ∫ ∫ ∫ x 2   +   y 2   +   z 2 d x d y d z

Passo 2

Bom... em coordenadas cilíndricas, temos:

  1. x = r cos ⁡ θ  
  2. y = r   s e n   θ
  3. z = z

E que

d x   d y   d z = r   d r   d θ   d z

Além disso, como a região de integração é circular, temos então que 0 < r < 1 e 0 < θ < 2 π .

E, para z , temos:

x 2 + y 2 < z < 1 ∴

r cos ⁡ θ   2 + r   s e n   θ 2 < z < 1 ∴

r < z < 1

Passo 3

Agora, integrando, temos:

m = ∫ r 1 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r cos ⁡ θ   2 + r   s e n   θ 2 + z 2 r   d r   d θ   d z   ∴

m = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 1 r 3 + r z 2   d z   d r   d θ   ∴

m = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 z + r z 3 e 1 r   d r   d θ ∴

m = ∫ 0 2 π 3 20 d θ ∴

m = 3 π 10

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

m = 3 π 10

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