Considere um recipiente cilíndrico de raio r = 5 c m , inicialmente em repouso com água até a altura L = 10   c m . Em seguida, o recipiente começa a girar até que, juntamente com a água, alcance uma velocidade angular constante igual a ω   r a d / s . Nesse caso, a superfície da água corresponde à rotação, em torno do eixo O y , do gráfico de uma função f ( x ) , com x ∈ [ 0 , r ] . Não havendo perda de água, pode-se mostrar que f x = h + ω 2 x 2 / 2 g , onde g = 980 c m / s 2 é a aceleração da gravidade e h é uma constante que depende de ω .

a ) O volume V do sólido de rotação do gráfico de f ( x ) em torno do eixo O y é igual a V = ∫ 0 r 2 π x f ( x ) f x . Use essa informação para calcular o volume de água no recipiente em termos de ω e h .

b ) Usando o item anterior, obtenha h como função ω .

c ) Determine o valor de ω para que h seja igual à metade da altura da água em repouso.

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos descreve a situação física idealizada de um balde cilíndrico com um certo volume de água que é rotacionado. A água tende a subir pelas paredes, e nos é dado que este movimento é descrito pela função f x = h + ω 2 x 2 / 2 g . A alternativa a ) pede para calcularmos o sólido de revolução desta função utilizando a definição que nos foi dada, isso nos permite utilizar a conservação do volume de água para calcular a alternativa b ) , e por fim, utilizar este resultado para obter a alternativa c ) .

Vamos com calma que tudo dá certo! Vem comigo!

Passo 2

Vamos usar a definição dada na nossa alternativa a ) para calcular o volume pedido, temos

V = 2 π ∫ 0 r x f ( x ) d x           ( 1 )

Como temos que f x = h + ω 2 x 2 / 2 g , podemos escrever

V = 2 π ∫ 0 r x h + ω 2 x 2 / 2 g d x

Que pode ser separado em duas integrais individuais, como

V = 2 π h ∫ 0 r x d x + 2 π ω 2 2 g ∫ 0 r x 3 d x           ( 2 )

Precisamos resolver as integrais agora! Bora lá!

Passo 3

Podemos identificar as integrais como

∫ 0 r x d x = x 1 + 1 1 + 1 ​ 0 r = x 2 2 ​ 0 r

Em que podemos avaliar os limites para obter

∫ 0 r x d x = r 2 2

Analogamente, temos para a outra integral que

∫ 0 r x 3 d x = x 3 + 1 3 + 1 ​ 0 r = x 4 4 ​ 0 r

E, da mesma, forma

∫ 0 r x 3 d x = r 4 4

Podemos substituir ambas na equação (2)! Vem comigo!

Passo 4

O nosso volume toma a seguinte forma

V = 2 π h r 2 / 2 + π ω 2 g r 4 / 4

Apenas rearranjando e simplificando termos, temos

V = π h r 2 + π ω 2 r 4 4 g           ( 3 )

Com este volume em mãos podemos partir para a nossa alternativa b ) . Vamo que vamo!

Passo 5

Como não perdemos água durante a rotação, temos que o volume que obtemos na equação (3) deve ser igual ao volume inicial da água! Que como está estabelecido no enunciado, ocupava um cilindro de altura L , e, portanto, um volume

V = π r 2 L

Como o volume se conserva, temos

π r 2 L = π h r 2 + π ω 2 r 4 4 g

Dividindo ambos os lados por π r 2 , obtemos que

L = h + ω 2 r 2 4 g

E, portanto, a altura é tal que

h ω = L - ω 2 r 2 4 g         ( 4 )

Faltando só mais uma! Desanima não! Vamos lá!

Passo 6

Agora, nos é pedido para encontrar ω tal que h ω = L / 2 , ou seja, a altura é metade da altura inicial da água. Usando a equação (4), temos que

L 2 = L - ω 2 r 2 / 4 g

Temos que isolar ω , portanto, primeiro vamos isolar o termo que tem ω 2 , para obter

ω 2 r 2 4 g = L 2

Isolando ω 2

ω 2 = 2 g L r 2

E, assim, a intensidade da rotação ω é tal que

ω = 2 g L / r

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a )   V = π h r 2 + π ω 2 r 4 4 g

b )   h ( ω ) = L - ω 2 r 2 4 g

c )   ω = 2 g L / r

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Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d