Seja R a região limitada pelos gráficos de y   =   2 x   –   x 3 e y   =   x para x   ∈   [ 0 ,   1 ] e S o solido obtido pela revolução desta área em torno do eixo y.

  1. Calcule o volume de S.

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui, e agora vamos dar inicio a resolução dessa querida questão, onde iremos calcular o volume de revolução de uma função.

Antes de tudo, vamos dar uma olhada na região S.

O volume do solido S é dado pela equação

V = π ∫ a b F y 2 - G y 2 d y

Passo 2

Como temos uma simetria no nosso volume, poderemos calcular o da origem até x = 1 e dobrar o valor encontrado.

A função f ( x ) é a mais externa, sendo ela a y = x . Mas note que para facilitar nossas vidas, podemos girar esse solido em relação ao eixo x, pois aqui temos uma simetria

V = π ∫ a b F x 2 - G x 2 d x

= π ∫ 0 1 2 x - x 3 2 - x 2 } d x

= π ∫ 0 1 4 x 2 - 4 x 4 + x 6 - x 2 d x

Resolvendo nossa querida integral, encontramos

= 12 π 35

Resposta

= 12 π 35

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d