Descreva o solido cujo volume é calculado pela integral

π ∫ - 1 1 ( 1 - y 2 ) d y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral

π ∫ - 1 1 ( 1 - y 2 ) d y

E pediu para descrever o volume cujo sólido é esse aí

Pergunta de milhões: Como descrever esse volume?

O volume de rotação em torno do eixo x é

V = π   ∫ a b f y 2 - g y 2 d y  

Onde f é a função que está mais à direita e g a mais à esquerda. E a , b são os limites de integração do sólido. Ou onde as curvas se encontram!

Belê?

A ideia é fazer um esboço, ver os limites, tascar na fórmula e entender como é esse sólido!

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Olhando nossa integral

π ∫ - 1 1 ( 1 - y 2 ) d y

As curvas são

x = 1

x = y 2

E os limites de y são

- 1 < y < 1

Um esboço fica assim

A curva mais à direita é a reta vertical x = 1 , enquanto a curva mais à esquerda é x = y 2 , como podemos ver no esboço!

Beleza?

Passo 3

Quando essa região gira em torno do eixo y , temos tipo uma “ampulheta curva”!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a m p u l h e t a   c u r v a

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d