Formule a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas y = 2 x 2 , x = 1 , x = 2 e y = 2 ao redor do eixo apontado:

c) ao redor do eixo x = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido obtido ao girar a região de interseção das curvas ao redor do eixo y , que é o eixo x = 0 . Dessa forma, seu volume é dado pela equação:

V = ∫ c d A ( y ) d y = ∫ c d π R y 2 d y

Como nossa função agora é R ( y ) , vamos escrever:

y = 2 x 2 → x 2 = y 2

x = ± y 2

Vamos usar apenas a parte positiva, porque y tá variando de 0 a 2 . Então, vamos lá montar nossa integral!

Passo 2

Para as curvas dadas, nossa região que vai rotacionar é essa aqui:

Como ela tá variando de 0 a 2 , para x = ± y 2 , temos:

V = ∫ 0 2 π y 2 2 d y

Elevando ao quadrado:

V = π ∫ 0 2 y 2 d y = π 2 ∫ 0 2 y   d y

Calculando a integral:

V = π 2 y 2 2 0 2

Aplicando os limites de integração, temos:

V = π 2 2 2 2 - 0 2 2

V = π 2 2 - 0

Logo,

V = π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = π

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d