Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Elaboração Própria

Deduza o volume de uma esfera usando Cálculo de Volumes por Seções Transversais.

Passo 1

Partiu então. Pra começar, vamos das uma olhada na esfera num ambiente 3D:

Beleza. Pela simetria então dessa esfera linda aí de cima, qualquer corte transversal perpendicular aos eixos resultará em um círculo. Se fizermos então perpendicular ao eixo x vamos ter:

E somando as áreas dos infinitos círculos que podemos tirar com esse fatiamento, usamos a integral e achamos o volume da esfera:

V = ∫ a b A d x

Show, mas vamos modelar isso um pouco melhor. Veja, como a esfera está centrada na origem, em todos os eixos, ela está delimitada entre – R e R . Pô, maravilha, então já sei os limites de integração:

V = ∫ - R R A   d x

E como todas as seções transversais são círculos a área deles vai ser:

A = π r 2

E logo:

V = ∫ - R R π r 2   d x

O que falta agora vai ser achar uma expressão r = r x pra essa integral ficar certinha e conseguirmos integrar. Bora lá então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora pra pensar em como escrever o raio da seção transversal em função de x , vamos olhar de novo pro corte que fizemos:

Note o seguinte, o raio do corte transversal lá de trás é maior que o corte transversal da frete! Só ver pela linha verde. Então de fato, a posição x do corte determina o tamanho do raio. No plano X Y podemos ver então os diferentes raios com diferentes tamanhos dependendo do corte:

Mas olha que bacana: todos eles saem do eixo x e tocam na circunferência! Isso quer dizer que o tamanho deles é:

r = y - 0

r = y

Como a equação da circunferência é:

x 2 + y 2 = R 2

Isolamos o y e ficamos com:

y 2 = R 2 - x 2

Como a integral era:

V = ∫ - R R π r 2   d x

Modificamos ela pra:

V = ∫ - R R π r 2   d x = ∫ - R R π y 2   d x

V = ∫ - R R π R 2 - x 2   d x

E agora sim da pra integrar!

Passo 3

Integrando então:

V = ∫ - R R π R 2 - x 2   d x

V = π R 2 x - x 3 3 x = - R x = R = π 3 R 2 x - x 3 3 x = - R x = R

V = π 3 R 3 - R 3 3 - - 3 R 3 + R 3 3

V = π 2 R 3 3 - - 2 R 3 3

O que finalmente, resulta em:

V = π 2 R 3 3 + 2 R 3 3

V = 4 π R 3 3

Resposta

V = 4 π R 3 3

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