Calcule a massa do sólido limitado por u 2 + v 2 + w 2 = 4 v ,   u 2 + v 2 + w 2 = 2 v , com v ≥ u 2 + w 2 ,   sendo a densidade δ u , v , w = u 2 + w 2

Passo 1

Olá meu caro amigo, tudo bem com você? Pronto para calcular essa integral? Para calcularmos a massa de um sólido delimitado, precisamos usar uma integração tripla. Antes de tudo é interessante que olhemos para o sólido formado pois assim poderemos entender melhor a região que estamos integrando e isso irá nos ajudar com os intervalos de integração.

Primeiro estamos acima de u 2 + v 2 + w 2 = 2 v

mas estamos abaixo de u 2 + v 2 + w 2 = 4 v .

Passo 2

Como estamos trabalhando com esferas, nada mais justo que utilizamos coordenadas esféricas aqui

v = ρ ∙ c o s ϕ

u = ρ ∙ s i n ϕ ∙ c o s θ

w = ρ ∙ s i n ϕ ∙ s i n θ

J = ρ ² ∙ s i n ϕ

como v ≥ u 2 + w 2

ρ ∙ c o s ϕ > = ( ρ ∙ s i n ϕ ∙ c o s θ ) ² + ( ρ ∙ s i n ϕ ∙ s i n θ ) ²  

( ρ ∙ c o s ϕ ) ² > = ( ρ ∙ s i n ϕ ∙ c o s θ ) ² + ( ρ ∙ s i n ϕ ∙ s i n θ ) ²

( ρ ∙ c o s ϕ ) ² > = ( ρ ∙ s i n ϕ ) ²

1 > = t a n ϕ

ϕ = < π / 4

e vamos até ϕ < = π / 2 pois assim conseguiremos ‘ler’ todo o nosso sólido nesse sentido.

Em relação a θ a variação é de 0 < = θ < = 2 π pois assim conseguiremos ‘ler’ toda circunferência do nosso sólido. O que nos falta encontrar é a variação de ρ . Como somos externos a u 2 + v 2 + w 2 = 2 v e internos a u 2 + v 2 + w 2 = 4 v .

Então vamos descobrir aqui quais os valores de ρ substituindo os parâmetros nas equações das esferas.

( ρ ∙ s i n ϕ ∙ c o s θ ) ² + ( ρ ∙ s i n ϕ ∙ s i n θ ) ² + ( ρ ∙ c o s ϕ ) ² = 4 ρ ∙ c o s ϕ

( ρ ∙ s i n ϕ ) ² ( s i n ² θ + c o s ² θ ) + ( ρ ∙ c o s ϕ ) ² = 4 ρ c o s ϕ

ρ ² = 4 ρ c o s ϕ

ρ = 4 c o s ϕ

Para a segunda esfera temos

( ρ ∙ s i n ϕ ∙ c o s θ ) ² + ( ρ ∙ s i n ϕ ∙ s i n θ ) ² + ( ρ ∙ c o s ϕ ) ² = 2 ρ ∙ c o s ϕ

( ρ ∙ s i n ϕ ) ² ( s i n ² θ + c o s ² θ ) + ( ρ ∙ c o s ϕ ) ² = 2 ρ c o s ϕ

ρ ² = 2 ρ c o s ϕ

ρ = 2 c o s ϕ

então

2 c o s ϕ < = ρ < = 4 c o s ϕ

Passo 3

Agora vamos montar nossa integral e calcular

∫ π / 4   π / 2 ∫ 2 c o s ϕ 4 c o s ϕ ∫ 0 2 π [ ( ρ ∙ s i n ϕ ∙ c o s θ ) ² + ( ρ ∙ s i n ϕ ∙ s i n θ ) ² ] ρ ² s i n ϕ d θ d ρ d ϕ

∫ π / 4   π / 2 ∫ 2 c o s ϕ 4 c o s ϕ ∫ 0 2 π [ ( ρ ∙ s i n ϕ ∙ ) ² ] ρ ² s i n ϕ d θ d ρ d ϕ

∫ π / 4   π / 2 ∫ 2 c o s ϕ 4 c o s ϕ ∫ 0 2 π [ ( ρ ⁴ ∙ s i n ³ ϕ ∙ ) ] d θ d ρ d ϕ

Primeiro integramos em relação a θ e por ser constante sai da integração o resultado

2 π ∫ π / 4   π / 2 ∫ 2 c o s ϕ 4 c o s ϕ [ ( ρ ⁴ ∙ s i n ³ ϕ ∙ ) ] d ρ d ϕ

agora em relação a ρ

2 π / 5 ∫ π / 4   π / 2 [ ( 4 c o s ϕ ) ⁵ - ( 2 c o s ϕ ) ⁵ ] ( s i n ³ ϕ ∙ ) d ρ d ϕ

2 π / 5 ∫ π / 4   π / 2 [ ( 1024 c o s ⁵ ϕ - 32 c o s ⁵ ϕ ] ( s i n ³ ϕ ∙ ) d ρ d ϕ

agora por último em relação a ϕ

2 π / 5 ∙ 992 ∫ π / 4   π / 2 [ ( c o s ⁵ ϕ ] ( s i n ³ ϕ ) d ϕ

2 π / 5 ∙ 992 ∫ π / 4   π / 2 [ ( c o s ⁵ ϕ ] ( s i n ϕ ( 1 - c o s ² ϕ ) ) d ϕ

aplicando uma substituição e mudando os limites de integração

u = c o s ϕ

d u / d ϕ   =   - s i n ϕ

∫ 2 / 2 0 - u ⁵ ( 1 - u ² ) d u

∫ 2 / 2 0 - u ⁵ + u ⁷ d u

- ∫ 2 / 2 0 u ⁵ d u + ∫ 2 / 2 0 u ⁷ d u

- u ⁶ / 6   | ⁰ 2 / 2 + u ⁸ / 8 | ⁰ 2 / 2

1 8 1 6 - 1 128

5 384 ∙ 2 π 5 ∙ 992

V = 31 π 6

Resposta

V = 31 π 6

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