Encontre o volume do sólido que permanece depois que um furo circular de um raio é perfurado através do centro de um esfera sólida de raio r > a por:

  1. Seções transversais

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Se liga só, fazendo um esboço da esfera e do cilindro dentro dela, temos:

Que já nos dá os valores que determinam os limites

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Sabemos que o volume é dado por:

V = ∫ a b A   d y

E no caso da área de uma seção circular de uma esfera, sabemos que é A = π r y 2

E por fim, saca só, a seção é tem o tipo de função x 2 + y 2 = R 2 , assim x = R 2 - y 2 . Assim essa é a equação pra esfera.

Mas calma já, jovem mancebo, falta ainda o cilindro interno. O cilindro tem por equação y 2 + x 2 = R 2 , mas pela imagem, temos que y = h 2 , logo x = R 2 - h 2 2 . Assim já temos tudo.

Passo 3

Esse desenho foi brabo né? Nele também obtemos os limites pra y, isso é y ∈ - h 2 , + h 2

Saco só, como queremos saber o volume que resta, então podemos fazer o volume da esfera menos o volume do cilindro, certo?! Assim:

V = ∫ - h 2 h 2 π R 2 - y 2 2 - R 2 - h 2 4 2 d y

V = ∫ - h 2 h 2 π R 2 - y 2 - R 2 + h 2 4 d y

V = ∫ - h 2 + h 2 π ( h 2 4 - y 2 ) d y  

V = π h 2 4   y - y 3 3 - h 2 h 2

V = π h 3 6

É isso, carinha. Obrigado por ter vindo até aqui

Resposta

V = π h 3 6

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d