Calcule o volume V obtido ao girar a região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo L :

d) R : 1 x , 1 ≤ x ≤ 4 . L : x = - 3 ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região da curva y = 1 x em torno do da reta x = - 3 , que é paralea ao eixo y . Ele fala também que a região de interesse vai de x = 1 a x = 4 . Sendo assim, nossa região em amarelo, vai rotacionar em torno da reta em verde na figura:

Pra calcular o volume desse sólido pela revolução da região em torno do eixo paralelo a y , vamos usar o método das cascas cilíndricas, porque seria mais complicado usar o método do anel. Então, nossa integral de volume vai ter essa cara:

V = ∫ a b 2 π   r a i o   d a   c a s c a ∙ a l t u r a   d a   c a s c a   d x

No nosso caso, o raio da casca é dado pela distância da reta de rotação até a função, temos:

r = x - - 3 = x + 3

A altura vai ser a própria função f x :

h = f x = 1 x

O intervalo de integração vai da reta x = 1 a x = 4 . Assim, vamos montar nossa integral e calcular o volume de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Montando a integral, temos:

V = ∫ a b 2 π   r a i o   d a   c a s c a ∙ a l t u r a   d a   c a s c a   d x

V = 2 π ∫ 1 4 x + 3 1 x   d x

Multiplicando termo a termo:

V = 2 π ∫ 1 4 x x + 3 x d x

V = 2 π ∫ 1 4 ( x 1 2 + 3 x - 1 2 ) d x

Integrando cada termo, usando a regrinha da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), temos:

V = 2 π x 1 2 + 1 1 2 + 1 + 3 x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 1 4

V = 2 π x 3 2 3 2 + 3 x 1 2 1 2 1 4 = 2 π 2 x 3 2 3 + 6 x 1 2 1 4

Aplicando os intervalos de integração:

V = 2 π 2 3 4 3 / 2 + 6 4 1 / 2 - 2 3 1 3 2 - 6 1 1 / 2

V = 2 π 2 3 64 + 6 4 - 2 3 - 6 = 2 π 16 3 + 12 - 2 3 - 6

V = 2 π 14 3 + 6 = 2 π 32 3 = 64 3 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 64 3 π

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d