Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco cilíndrico através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R.

Passo 1

Para provar que o volume do anel esférico depende apenas da altura h e não do raio R da esfera, podemos utilizar uma abordagem geométrica e algébrica. Vamos começar dividindo o processo em duas etapas: uma esfera sólida completa e uma esfera menor, excluindo o anel.

Etapa 1: Esfera sólida completa

O volume de uma esfera é dado pela fórmula:

  V e s f e r a = 4 3 π R 3

Etapa 2: Remoção do anel

Agora, vamos considerar a remoção de um cilindro da esfera, que resultará no anel esférico.

O raio desse cilindro é o raio R da esfera, e sua altura é h.

O volume do cilindro é dado por:

V c i l i n d r o = π R 2 h

Passo 2

Quando removemos o cilindro da esfera, o que sobra é o anel esférico.

Portanto, o volume do anel é a diferença entre o volume da esfera completa e o volume do cilindro:

V a n e l = V e s f e r a - V c i l i n d r o

V a n e l = 4 3 π R 3 - π R 2 h

Agora, vamos simplificar essa expressão fatorando o termo π R 2 em comum:

V a n e l = π R 2 4 3 R - h

Passo 3

Neste ponto, podemos observar que o termo dentro dos parênteses não contém o raio R da esfera, ou seja, o volume do anel não depende de R.

Apenas depende da altura h do anel.

Portanto, concluímos que o volume do anel esférico depende apenas da altura h, mas não do raio R da esfera, como foi demonstrado.

Resposta

Vide o passo a passo.

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