Calcule a integral

∭ E x   d V

Onde E é o conjunto

E = x , y , z : x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 ,   x ≥ 0

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

Temos um volume para calcular, limitado por apenas duas equações, isto é:

x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1

E:

x ≥ 0

Como é a forma do nosso volume? Veja:

Se parece com uma elipse, certo?

Então como que calculamos? Bom, primeiramente temos que ver como são os limites de integração, e depois apenas resolver a integral! Facil, né? Vamos lá

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então as equações:

x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1

x ≥ 0

E somente com essa equação podemos fazer a mágica. Como? Que por ela vamos achar os nossos limites de integração. Assim, como temos somente duas equações podemos fazer diversas ordens de integração, mas nelas devemos ter a variável x por últimos, por que? Porque x está definido como x ≥ 0 . Assim podemos fazer d y   d z   d x ou d z   d y   d x , como preferir, eu vou fazer d y   d z   d x , mas é porque eu quero, se fizer da outra forma vai chegar no mesmo resultado, tente veja!

Assim, de:

x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1

Isolando y :

y 2 ≤ 9 1 - x 2 4 - z 2

Assim:

y ≤ ± 3 1 - x 2 4 - z 2

Uma vez isolado y , agora vamso isolar e achar os limites de z (como já achamos os valores de integração de y , vamos tomar y = 0 )

z 2 ≤ 1 - x 2 4

Assim:

z ≤ ± 1 - x 2 4

E uma vez definidos z e y , vamos definir x (tomando y = z = 0 )

x 2 ≤ 4

Logo:

x ≤ ± 2

Mas se lembra da segunda equação que era x ≥ 0 , assim:

0 ≤ x ≤ 2

E definimos nossos três limites de integração. Resumindo:

y ∈ - 3 1 - x 2 4 - z 2 , - 3 1 - x 2 4 - z 2

z ∈ - 1 - x 2 4 , + 1 - x 2 4

x ∈ 0,2

E agora sim podemos fazer nossa integral

Passo 3

Sendo ela:

∫ 0 2 ∫ - 1 - x 2 4 + 1 - x 2 4 ∫ - 3 1 - x 2 4 - z 2 + 3 1 - x 2 4 - z 2 x   d y   d z   d x

E agora vamos calcular esse monstrinho.

Integrando em y :

∫ 0 2 ∫ - 1 - x 2 4 1 - x 2 4 x ( 3 1 - x 2 4 - z 2 - - 3 1 - x 2 4 - z 2 )   d z   d x

Que nos resulta então em:

∫ 0 2 ∫ - 1 - x 2 4 + 1 - x 2 4 3 x 4 - x 2 - 4 z 2   d z   d x  

E como vamos resolver essa integral mostrinha.

Passo 4

Integrais desse tipo costumam ser resolvidas por uma substituição trigonométrica do tipo:

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1  

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Nós temos algo do tipo 4 - x 2 - 4 z 2 , então qual seria melhor? Seria a primeira com seno e cosseno, certo? Porque podemos fazer 4 - x 2 - 4 z 2 = 4 - x 2 1 - 4 z 2 4 - x 2 e então sec 2 ⁡ θ = 4 z 2 4 - x 2 . Bom, então temos:

sec ⁡ θ = 2 z 4 - x 2

E da derivada então:

d z d θ = cos ⁡ θ 4 - x 2 2

MAS, CALMA, JOVEM MANCEBO! Atente-se, quando nós fazemos alguma substituição, qualquer que seja, nós temos que ver como que os limites de integração estão nessa substituição, assim:

q u a n d o   z = 1 - x 2 4 → 2 1 - x 2 4 4 - x 2 = sin ⁡ θ → θ = π 2

q u a n d o   z = - 1 - x 2 4 → 2 - 1 - x 2 4 4 - x 2 = sin ⁡ θ → θ = - π 2

Assim a nossa integral fica:

∫ 0 2 ∫ - π 2 π 2 3 x 2   4 - x 2 1 - sin 2 ⁡ θ   cos ⁡ θ 4 - x 2 2   d θ   d x = ∫ 0 2 ∫ - π 2 π 2 3 x 4 - x 2 2 cos 2 ⁡ θ d θ   d x

Como 3 x 4 - x 2 2 é constante para θ :

∫ 0 2 3 x 4 - x 2 2 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ   d x

Integrando em θ :

∫ 0 2 3 x 4 - x 2 2 θ + 1 4 sin ⁡ 2 θ - π 2 π 2   d x   = ∫ 0 2 3 x π 4   4 - x 2   d x  

Sabendo que a soma das integrais é integral da soma, podemos fazer:

∫ 0 2 3 x π 4   4 - x 2   d x   = ∫ 0 2 3 x π 4 * 4 d x - ∫ 0 2 3 x π 4 x 2 d x

E podemos então fazer as integrais separadamente, logo:

Para a primeira ∫ 0 2 3 x π 4 * 4 d x :

Integrando em x , temos:

∫ 0 2 3 x π 4 * 4 d x = 3 π x 2 2 0 2 = 3 π * 4 2 = 6 π

Para a segunda ∫ 0 2 3 x π 4 x 2 d x :

Integrando em x :

  ∫ 0 2 3 x π 4 x 2 d x = 3 π 4 x 4 4 0 2 = 3 π 3 4 = 3 π

Então agora que já temos o resultado de ambas podemos ver que:

∫ 0 2 3 x π 4 * 4 d x - ∫ 0 2 3 x π 4 x 2 d x = 6 π - 3 π = 3 π

E aqui acabamos a nossa questão, meu chapa, a resposta é 3 π . Resumindo então:

∭ E x   d V

Onde E é o conjunto:

E = x , y , z : x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 ,   x ≥ 0

Nos dá:

V = 3 π

Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima.

Resposta

∭ E x   d V

Onde E é o conjunto:

E = x , y , z : x 2 4 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 ,   x ≥ 0

Nos dá:

V = 3 π

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