Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido E , limitado abaixo pelo plano z = k e acima pela esfera z = 1 - x 2 - y 2 .   ( 0 < k < 1 )

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado pede para calcularmos o volume delimitado pelas superfícies

z = 1 - x 2 - y 2 e z = k

para isso vamos ter que calcular a seguinte integração

V = ∫ ∫ ∫ E d V '

em que E delimita a nossa região! O enunciado pede para utilizarmos coordenadas cilíndricas, seria mais fácil usar esféricas, mas ele que manda! Vamos tentar visualizar a região e encontrar os limites de integração!

Passo 2

A região é dada por

em que o plano em vermelho indica z = k , com 0 < k < 1 . E, superiormente temos a esfera z = 1 - x 2 - y 2 . Vamos usar as coordenadas cilíndricas da forma

x =   r   c o s ( ϕ )

y =   r   s e n ( ϕ )

z = z

de forma que nossas superfícies possam ser escritas como z = 1 - r 2 e z = k . O elemento de volume nestas coordenadas é dado por d V ' = r d r d ϕ d z . Vamos usar tudo isso, para escrever a nossa integral! Saca só!

Passo 3

A integral de volume tomará então o formato

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ k 1 - r 2 r d z d r d ϕ

note que estou integrando primeiro na coordenada z desde o plano até a esfera, e também que devido a simetria do problema, temos que o ângulo polar ϕ está dentro do intervalo 0 a 2 π . Mas, ainda precisamos determinar o limite de integração para r . Como a origem pertence a nossa região, temos que o raio inicial é r = 0 , o raio final pode ser obtido fazendo a interseção das duas superfícies

1 - r 2 = k

que resulta na seguinte equação de segundo grau

1 - r 2 = k 2

ou de uma maneira mais acolhedora

r 2 + k 2 - 1 = 0

usando Bhaskara, obtemos as raízes

r ± = - 0 ± 0 2 - 4 ( 1 ) ( k 2 - 1 ) 2 ( 1 ) = ± - 4 ( k 2 - 1 ) 2

ali temos um probleminha, note que se k 2 > 1 , temos uma raiz imaginária, mas como 0 < k < 1 , então a diferença k 2 - 1 é sempre negativa, de forma que podemos escrever as raízes como

r ± = ± 2 ( 1 - k 2 2 = ± 1 - k 2

pela definição da coordenada radial em coordenadas cilíndricas vamos usar a raíz positiva, desta forma, a nossa integração se torna

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - k 2 ∫ k 1 - r 2 r d z d r d ϕ

Vamos começar as integrações agora! Bora lá!

Passo 4

Integrando primeiramente em z , temos que

∫ k 1 - r 2 d z = z | k 1 - r 2 = 1 - r 2 - k

Portanto, a integral de volume se torna

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - k 2 ∫ k 1 - r 2 r d z d r d ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - k 2 r ( 1 - r 2 - k ) d r d ϕ

distribuindo o r , temos que

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - k 2 [ r 1 - r 2 - r k ] d r d ϕ

Vamos continuar no próximo passo com as próximas integrações!

Passo 5

Para realizar as integrações em r , vamos separar a nossa integral em duas, da seguinte maneira

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - k 2 [ r 1 - r 2 - r k ] d r d ϕ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - k 2 r 1 - r 2 d r d ϕ - k ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - k 2 r d r d ϕ

a integral em r do segundo termo pode ser resolvida usando a fórmula

∫ a b r n d r = r n + 1 n + 1 | a b

portanto, obtemos o resultado

∫ 0 1 - k 2 r d r = 1 2 r 2 | 0 1 - k 2 = 1 - k 2 2

para a outra integral será conveniente realizar a substituição simples

u = 1 - r 2 e d u = - 2 r   d r

de forma que a integral se torna

∫ 0 1 - k 2 r 1 - r 2 d r = - 1 2 ∫ u ( 0 ) u ( 1 - k 2 ) u 1 / 2 d u

usando novamente a fórmula para a integração de polinômios, temos que

∫ u ( 0 ) u ( 1 - k 2 ) u 1 / 2 d u = 2 3 u 3 / 2 | u ( 0 ) u ( 1 - k 2 )

Por simplicidade, vamos voltar as variáveis originais da forma u = 1 - r 2 , para obter

2 3 u 3 / 2 | u ( 0 ) u ( 1 - k 2 ) = 2 3 ( 1 - r 2 ) 3 / 2 | 0 1 - k 2 = 2 k 3 3 - 2 3

Portanto, temos o resultado

∫ 0 1 - k 2 r 1 - r 2 d r = - 1 2 [ 2 k 3 3 - 2 3 ] = 1 - k 3 3

Vamos juntar os resultados em nosso volume! Vem comigo!

Passo 6

A integral de volume se torna

V = 1 - k 3 3 ∫ 0 2 π d ϕ - k ( 1 - k 2 ) 2 ∫ 0 2 π d ϕ

A integral em ϕ é bastante direta, temos que

∫ 0 2 π d ϕ = ϕ | 0 2 π = 2 π

Ou seja, o nosso trabalho é simplificar o seguinte resultado

V = 2 π ( 1 - k 3 ) 3 - 2 π k ( 1 - k 2 ) 2

fazendo um MMC, temos que

V = π 3 [ 2 ( 1 - k 3 ) - 3 k ( 1 - k 2 ) ] = π ( 2 - 3 k + k 3 ) 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = π ( 2 - 3 k + k 3 ) 3

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d