Dados os gráficos de y = x 2 , y = x e as 5 regiões A1,A2,A3,A4 e A5, delimitadas de acordo com a figura anexa, formule, em cada caso, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região indicada ao redor do eixo apontado

(c) (A2∪A3) ao redor de y = 1.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para formularmos a integral que calcula o volume obtido ao girar a área (A2∪A3) ao redor do eixo y=1

Para montarmos essa integral, vamos utilizar o método dos discos que obtém o volume dos sólidos de revolução. Vamos utilizar esse método, pois os retângulos de largura infinitesimal escolhidos são delimitados pelo eixo de rotação, gerando discos quando são rotacionados. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para a área que será rotacionada, que é delimitada superiormente por y=1 e inferiormente por y = x 2 no intervalo - 1 ≤ x ≤ 0 e por y = x no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 :

Como já dito, os retângulos são limitados pelo eixo de rotação, então é conveniente utilizar o método dos discos, sendo o elemento de volume do disco de largura infinitesimal ( d x ) dado por:

  d V = π   R ( x ) 2   d x

Temos que o raio R do disco é a altura do retângulo. Analisando a imagem, temos que:

R 1 ( x ) = 1 - x 2 , - 1 ≤ x ≤ 0

R 2 ( x ) = 1 - x , 0 ≤ x ≤ 1

Agora já conseguimos formular a integral para calcular o volume.

Passo 3

Montando a integral:

V = ∫ - 1 0 π   ( R 1 ( x ) ) 2   d x + ∫ 0 1 π   ( R 2 ( x ) ) 2 d x = π ∫ - 1 0   ( 1 - x 2 ) 2   d x + π ∫ 0 1   ( 1 - x ) 2 d x

Essa é a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a área (A2∪A3) ao redor do eixo y=1.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = π ∫ - 1 0   ( 1 - x 2 ) 2   d x + π ∫ 0 1   ( 1 - x ) 2 d x

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