5. Calcule o volume do sólido Q limitado inferiormente pelo cone S 1 , de equação 3 x 2 + y 2 = z 2 , e superiormente pelo paraboloide S 2 , de equação x 2 + y 2 + 3 z 2 = 1 .

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular o volume do sólido limitado inferiormente pelo cone de equação 3 x 2 + y 2 = z 2 e superiormente de equação x 2 + y 2 + 3 z 2 = 1 .

Como estamos falando de volume de sólido, já pensamos em integral tripla.

V = ∫ ∫ ∫ Q d x   d y   d z

Fazendo um esboço desse sólido:

Como tem uma simetria tooooda em relação ao eixo z , vamos usar coordenadas cilíndricas:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

E para o jacobiano temos:

J = r

E o volume fica:

V = = ∫ ∫ ∫ Q r d r   d θ   d z

Passo 2

Pra achar a variação de r , vamos usar as duas equações:

3 x 2 + y 2 = z 2

x 2 + y 2 + 3 z 2 = 1

Substituindo o z 2 da primeira na segunda:

x 2 + y 2 + 3 3 x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 + 3 x 2 + y 2 = 1

4 x 2 + y 2 = 1

Usando as coordenas cilíndricas:

4 r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = 1

4 r 2 = 1

r = 1 2

Então o r varia de 0 ate 1/2.

Passo 3

Como o sólido é limitado inferiormente pelo cone, isolamos o z :

3 x 2 + y 2 = z 2

Usando as coordenadas cilíndricas:

z = 3 4 r

E limitado superiormente pelo paraboloide, isomamos o z :

x 2 + y 2 + 3 z 2 = 1 .

Usando as coordenadas cilíndricas:

z = 1 3 4 1 - r 2

Passo 4

Agora podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas pra calcular o volume do sólido formado (não esquecendo do jacobiano)

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 ∫ 3 4 r 1 3 4 1 - r 2 r d z d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 1 3 4 1 - r 2 - 3 4 r r d r   d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 3 4 1 - r 2 - 3 4 r 2 d r   d θ

= ∫ 0 2 π 8 - 3 3 24 3 4 - 3 4 24 d θ

= 8 - 3 3 24 3 4 - 3 4 24 π

Resposta

8 - 3 3 24 3 4 - 3 4 24 π

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d