A base de S é uma região elíptica delimitada pela curva 9 x 2 + 4 y 2 = 36 . As secções transversais perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles retos com hipotenusa na base

Passo 1

Faaalaa, beleza?? Bora para o último probleminha dessa prova.

Bom, para começar vamos lembrar como iremos calcular esse volume, para entender quais passos temos que tomar. Vamos usar que:

V =   ∫ a b A x d x

A ideia aqui será que o volume do sólido é dado pelos infinitos triângulos isósceles que tem suas hipotenusas perpendiculares ao eixo x , varrendo a elipse. Ou seja, a A ( x ) é referente a esses triângulos, vamos tomar triângulos da forma:

Sabemos que Á r e a = b a s e a l t u r a 2 = l 2 2

Passo 2

Agora vamos pensar no seguinte. Nós temos que integrar sobre x , ou seja, temos que relacionar essa área acima com x , como faremos isso?

A ideia aqui será, primeiramente, relacionar l com y e depois usar a equaçãozinha da elipse para relacionar y com x , bora lá:

Por Pitágoras no triângulo, temos que:

2 l 2 =   4 y 2 → 2 y 2 = l 2

Agora, olhando para equação

9 x 2 + 4 y 2 = 36

Substituindo o valor achado:

9 x 2 + 2 l 2 = 36

Passo 3

Agora, temos quase tudo que precisamos, bora calcular o volume:

V =   ∫ a b l 2 2 d x

Colocando o valor achado

V =   ∫ a b 1 2 ( 36 - 9 x 2 ) 2 d x

Ou seja

V = 1 4 ∫ a b 36 - 9 x 2   d x

Agora vamos analisar os limites de integração, veja que a elipse é do tipo:

Veja que x varia de - 2   para 2 , ou seja, queremos:

V = 1 4 ∫ - 2 2 36 - 9 x 2   d x

Colocando 9 em evidência dentro:

V = 9 4 ∫ - 2 2 4 - x 2   d x

Ou seja, temos:

V = 9 4 4 x - x 3 3 - 2 2

Resultando em: V = 9 4 8 - 8 3 - - 8 - - 8 3

Temos então que:

V = 9 4 8 - 8 3 + 8 - 8 3 = 9 4 16 - 16 3

Ou seja:

V = 24  

Assim terminamos com a nossa listinha

Resposta

V = 24

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d