Ache o volume comum a duas esferas de raio r se o centro de cada esfera está na superfície da outra.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Se liga só o que o esquema quer dizer:

E assim fica mais fácil sabermos que se acharmos o volume da direita (ou da esquerda, como preferir) e multiplicarmos por 2, acharemos o volume.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim, temos que a equação que descreve é:

f x = x + r 2 2 + y 2 = r 2

De forma que:

y 2 = r 2 - x + r 2 2

E veja que x ∈ 0 , r 2

Passo 3

Pelo volume, o carinha aí sabe que:

V = ∫ A d x

De onde tiramos:

A = π     f 2 ( x )

Sabendo que f x = y

Assim:

V = ∫ π   y 2   d x

Colocando a conta e os limites:

V m e t a d e = ∫ 0 r 2 π r 2 - r 2 + x 2 d x

Voce é um cara manjado das integrais, e sabe que a soma da integral é a integral da soma, logo:

V m e t a d e =   ∫ 0 r 2 π r 2 d x - ∫ 0 r 2 π r 2 4 d x + ∫ 0 r 2 π r x + ∫ 0 r 2 π x 2 d x

Assim:

V = π r 2 x - π r 2 4   x + π r x 2 2 + π x 3 3 0 r 2

V m e t a d e = 5 24 π r 3

Como dito no começo, esse é metade do volume. Para obtermos por inteiro, basta multiplicarmos por 2, assim:

V = 5 12   π r 3

Resposta

V = 5 12   π r 3

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58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d