Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:

e) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 e z = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que é limitado no primeiro octante pelo pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 e z = 0 .

Como o sólido é limitado só no primeiro octante, vamos observar apenas a parte positiva do gráfico e verificar como x ,   y e z estão variando. Assim, a gente consegue encontrar os limites de integração do nosso volume na equação:

V = ∫ a b ∫ c d ∫ e f d z d y d x

Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos diz que nossa região é limitada por z = 0 e z = y . Então, temos:

0 ≤ z ≤ y

Agora repare que a projeção do cilindro no plano x y é a circunferência de equação x 2 + y 2 = 1 :

Como a gente quer só a parte positiva e nossa circunferência tem raio 1 , então x tá variando de 0 a 1 . Além disso, isolando y na equação da circunferência, temos y = ± 1 - x 2 , pegando só a parte positiva, vamos ter:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Passo 3

Agora que já temos nossos intervalos, é só montar a integral de volume:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 y d z d y d x

Integrando primeiro em relação a z , temos:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 z 0 y     d y d x

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 y   d y d x

Integrando agora em relação a y :

V = ∫ 0 1 y 2 2 0 1 - x 2 d x

Aplicando os limites de integração em y :

V = ∫ 0 1 1 - x 2 2 2   d x

V = ∫ 0 1 1 - x 2 2   d x

Por fim, integrando em relação x , vamos obter:

V = x 2 - x 3 6 0 1

Aplicando os limites em x e somando as frações:

V = 1 2 - 1 6

V = 1 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d