Determine o volume do sólido delimitado pelas superfícies z = 16 - 2 x 2 - y 2 e z = x 2 + 2 y 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu duas superfícies (dois paraboloides) e pediu pra gente calcular o volume entre elas. Vamos dá uma olhada em como são essas superfícies:

Pra calcular o volume entre essas duas superfícies, nós vamos igualar as duas equações que o enunciado nos deu, pra encontrar o raio da projeção da figura no plano x - y . Em seguida, nós vamos definir a função de integração f ( r ,   θ ) e seus intervalos, pra, assim, calcular o volume.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar igualando as equações z = 16 - 2 x 2 - y 2 e z = x 2 + 2 y 2 :

16 - 2 x 2 - y 2 = x 2 + 2 y 2

3 x 2 + 3 y 2 = 16

Colocando 3 em evidência:

3 x 2 + y 2 = 16

Lembra que em coordenadas polares, x 2 + y 2 = r 2 ? Então, vamos substituir na equação:

3 r 2 = 16

r 2 = 16 3 → r = ± 16 3

r = 4 3 = 4 3 3

Então nosso r varia de 0 até o raio 4 3 3 . Repare que a equação 3 x 2 + 3 y 2 = 16 que nós encontramos igualando as equações, nos dá uma circunferência. Então, nosso ângulo θ vai variar de 0 até 2 π . Resumindo tudo isso, fica assim:

0 ≤ r ≤ 4 3 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora vamos determinar nossa função a ser integrada. Olhando para o nosso gráfico do passo 1 , nós vemos que a nossa superfície pode ser obtida fazendo:

f x ,   y = 16 - 2 x 2 - y 2 - ( x 2 + 2 y 2 )

Resolvendo, temos:

f x ,   y = 16 - 3 x 2 - 3 y 2

f x ,   y = 16 - 3 ( x 2 + y 2 )

Mas a gente precisa que a nossa função tenha a forma f r ,   θ . Então, vamos usar de novo a relação r 2 = x 2 + y 2 . Substituindo, temos:

f r ,   θ = 16 - 3 r 2

Essa é a nossa função de integração.

Passo 4

Agora podemos montar nossa integral pra calcular o volume V :

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 3 3 16 - 3 r 2   r d r d θ

Vamos integrar primeiro em relação a r :

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 3 3 16 - 3 r 2   r d r d θ

V = ∫ 0 2 π 16 2 r 2 - 3 r 4 4 0 4 3 3 d θ

Aplicando os intervalos de integração em r :

V = ∫ 0 2 π 8 4 3 3 2 - 3 4 4 3 3 4 - 0 d θ

V = ∫ 0 2 π 128 3 - 64 3 d θ

V = ∫ 0 2 π 64 3 d θ

Agora nós podemos colocar a constante fora da integral e integrar em relação a θ :

V = 64 3 ∫ 0 2 π d θ

V = 64 3 θ 0 2 π

Aplicando os intervalos de integração em θ :

V = 64 3 ( 2 π - 0 )

V = 128 π 3

E encontramos nosso volume.

Valeu, galera! 😉

Resposta

V = 128 π 3

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