Esboce e calcule o volume do sólido descrito.

c) O sólido S cuja base é o semicírculo x 2 + y 2 ≤ r 2 ,   y ≥ 0 , cujas secções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar e calcular o volume do sólido S cuja base é o semicírculo x 2 + y 2 ≤ r 2 ,   y ≥ 0 , cujas secções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros.

Para isso, vamos ter que estudar o triangulo equilátero e buscar uma relação com o semicírculo para podermos encontrar o volume.

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... vamos colocar a área do triângulo equilátero em função de x .

Para isso, devemos saber que a área A do triângulo equilátero de lado l é dada por:

A = 3 4 l 2

Assim, o lado do triângulo em relação ao lado da abcissa da circunferência é dada por:

l 2 = r 2 - x 2

Logo, substituindo na equação da área, temos:

A   x = 3 4 r 2 - x 2

Passo 3

Dessa forma, o volume V é dado pela integral da área A no intervalo - r → r do semicírculo de raio r :

V = ∫ - r r A x d x ∴

V = ∫ - r r 3 4 r 2 - x 2 d x ∴

V = 3 4 r 2 - x 3 3 r - r ∴

V = 3 3 r 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = 3 3 r 3

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d