Seja a área A o conjunto de pontos tais que y ≥ x 2 - 1 , y ≤ x 2 4 + 2 , y ≥ 0 e 0 ≤ x ≤ 2 .

  1. Determine o volume gerado pela revolução da área A em torno da reta x = 0 ;
  2. Determine o volume gerado pela revolução da área A em torno da reta x = 2 .

Passo 1

Molecada boa, vambora! Antes de tudo precisamos desenhar nossa região. Visto que as parábolas tem eixo de simetria no eixo y fica mais simples, mas no final obtemos:

A fim de calcular o volume de revolução em torno de x = 0 , utilizaremos cascas cilíndricas de raio r = x e altura x 2 - 1 ≤ h ≤ x 2 4 + 2 , com espessura d r = d x , o volume pelas cascas seria:

V = 2 π ∫ r h d r

= 2 π ∫ 0 2 x x 2 4 + 2 - x 2 - 1 d x

= 2 π ∫ 0 2 x - 3 x 2 4 + 3 d x

= 2 π ∫ 0 2 - 3 x 3 4 + 3 x   d x

= 2 π - 3 x 4 16 + 3 x 2 2 0 2

= 2 π ( - 3 + 6 )

= 6 π

Resposta

V = 6 π

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d