Esboce e calcule o volume do sólido descrito.

d) O sólido S cuja base é a região elíptica 4 x 2 + y 2 ≤ 1 e cujas secções perpendiculares ao eixo x são semicírculos.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar e calcular o volume do sólido S cuja base é a região elíptica 4 x 2 + y 2 ≤ 1 e cujas secções perpendiculares ao eixo x são semicírculos.

Ou seja, queremos encontrar o volume do seguinte sólido:

Para isso, vamos considerar como h a altura do sólido no eixo z .

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... uma forma de calcularmos o volume desse sólido é considerarmos que ele trata-se da metade de um elipsoide (figura abaixo), o que é descrito pela seguinte forma:

E sua equação é dada por:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Pela equação dada na questão 4 x 2 + y 2 ≤ 1 , e considerando a altura h do elipsoide, temos que:

a 2 = 1 4 ∴ a = 1 2

b 2 = 1 2 = 1

c 2 = h 2

Passo 3

Dessa forma, o volume V do sólido S que queremos encontrar é a metade do volume V ' do elipsoide, ou seja:

V = 1 2 V '

Onde V ' = 4 3 a b c π

Logo, substituindo, temos:

V = 1 2 4 3 a b c π ∴

V = 2 3 a b c π

Passo 4

Dessa forma, substituindo a ,   b e c , temos:

V = 2 3 * 1 2 * 1 * h * π ∴

V = h π 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = h π 3

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d