Calcule o volume limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelos planos z = 0 e y + z = 4 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular o volume do cilindro

x 2 + y 2 = 4

delimitado pelos planos z = 0 e y + z = 4 . Este sólido é tal que

podemos calcular o volume usando integração dupla se escrevermos a seguinte integral

V = ∫ D ∫ f ( x , y ) d x d y

em que z = f ( x , y ) . Vamos escrever a nossa função e reescrever a região D , estabelecendo assim limites de integração! Saca só!

Passo 2

A função f ( x , y ) é dada pelo plano que serve como tampa, temos que

z = 4 - y

O domínio é a circunferência que intercepta o plano z = 0 dada simplesmente por

x 2 + y 2 = 4

sendo assim, temos que resolver a seguinte integral

V = ∫ D ∫ ( 4 - y ) d x d y

Os limites podem ser encontrados de maneira conveniente se usarmos coordenadas polares da forma

x = r   c o s ( θ ) e y = r   s e n ( θ )

como o jacobiano da mudança de coordenadas é simplesmente dado por

∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = r

temos que

V = ∫ ∫ ( 4 - r   s e n ( θ ) ) r d r d θ

como D é uma circunferência completa, os limites são dados simplesmente por

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 4 - r   s e n ( θ ) ) r d r d θ

Vamos resolver as integrações agora!

Passo 3

Como os limites de integração são constantes (a região é retangular) temos que a ordem de integração não importa, então, vamos integrar primeiro em θ , temos que

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 4 - r   s e n ( θ ) ) r d r d θ = 4 ∫ 0 2 [ ∫ 0 2 π d θ ] r d r - ∫ 0 2 [ ∫ 0 2 π s e n ( θ ) d θ ] r 2 d r

usando que

∫ 0 2 π d θ = θ | 0 2 π = 2 π

e que

∫ 0 2 π s e n ( θ ) d θ = - c o s ( θ ) | 0 2 π = 0

nos resta apenas a seguinte integral

V = 8 π ∫ 0 2 r d r

a integral em r pode ser identificada como

∫ 0 2 r d r = 1 2 r 2 | 0 2 = 2

podemos então escrever que

V = 16 π

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 16 π

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Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d