Seja a R a região limitada entre os gráficos y = x 2 e y = x . Seja S o sólido obtido girando esta região em torno do eixo x . Qual o volume de S ?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essas duas curvas

y = x 2 ,   y = x

E pediu o volume do sólido formado pela rotação dessas duas curvas em torno do eixo x .

Pergunta de milhões: Como achar esse volume?

O volume de rotação em torno do eixo x é

V = π   ∫ a b f x 2 - g x 2 d x  

Onde f é a função que está mais acima e g a mais abaixo. E a , b são os limites de integração do sólido. Ou onde as curvas se encontram!

Belê?

A ideia é verificar que curva está por cima, por baixo, os limites e tascar na fórmula e calcular a integral!

Então é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

As curvas são

y = x 2 ,   y = x

Elas se encontram

x 2 = x

x 2 - x = 0

x x - 1 = 0

x = 0   e   x = 1

Então aqui temos os limites

0 < x < 1

E quem está por cima? É a reta! Nesse intervalo, y = x assume valores maiores do que y = x 2

Beleza?

Assim nossa integral é

π ∫ 0 1 x 2 - x 2 2 d x

Agora nossa missão é resolver a integral!

Passo 3

Calculando o volume temos

V = π ∫ 0 1 x 2 - x 2 2 d x

= π x 3 3 - x 5 5 0 1 = π 1 3 - 1 5 = 2 π 15

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

2 π 15

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d