Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:

a) S é limitado superiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 , inferiormente pelo plano z = 0 e sua projeção no plano x y é a região limitada por y = x 2 e x = y 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que é limitado superiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e inferiormente pelo plano z = 0 e sua projeção no plano x y , que é a região limitada por y = x 2 e x = y 2 . Plotando isso em um gráfico 3D, seria mais ou menos isso aqui:

Parece meio confuso, né? Mas a gente tem que prestar atenção em como as variáveis x , y e z estão variando, ou seja, em como elas são limitadas nessa região. Com isso em mente, a gente consegue encontrar os limites de integração do nosso volume na equação:

V = ∫ a b ∫ c d ∫ e f d z d y d x

Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos diz que nossa região é limitada por z = 0 e z = x 2 + y 2 (que é o paraboloide ali no gráfico). Então, temos:

0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Mas e como tá variando x e y ? Repare que ele já nos deu uma projeção no plano x y . Ele disse que essa projeção é limitada por y = x 2 e x = y 2 . No plano fica assim:

Observe que as curvas se encontram em x = 0 e x = 1 . Então, a gente já sabe que x tá variando no intervalo:

0 ≤ x ≤ 1

E y vai da curva de baixo até a curva de cima. Então, ele vai de y = x 2 (em azul) até x = y 2 → y = x (em laranja). Ou seja:

x 2 ≤ y ≤ x

Passo 3

Agora que já temos nossos intervalos, é só montar a integral de volume:

V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 x 2 + y 2 d z d y d x

Integrando primeiro em relação a z , temos:

V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x z 0 x 2 + y 2     d y d x

V = ∫ 0 1 ∫ x 2 x x 2 + y 2   d y d x

Integrando agora em relação a y :

V = ∫ 0 1 x 2 y + y 3 3 x 2 x d x

Aplicando os limites de integração em y :

V = ∫ 0 1 x 2 x + x 3 3 - x 2 x 2 - x 2 3 3   d x

V = ∫ 0 1 x 5 / 2 + x 3 / 2 3 - x 4 - x 6 3   d x

Por fim, integrando em relação x , vamos obter:

V = 2 7 x 7 2 + 2 15 x 5 2 - x 5 5 - x 7 21 0 1

Aplicando os limites em x e somando as frações:

V = 2 7 + 2 15 - 1 5 - 1 21

V = 54 315 = 6 35

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 6 35

Exercícios de Livros Relacionados

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