Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Lista Volume por Fatiamento – Q63- Calc II UFCG

Dois cilindros circulares retos de raio r têm eixos que se intersectam em ângulos retos. Encontre o volume do sólido comum a ambos (Sugestão: Um oitavo do sólido está esboçado na figura abaixo).

Passo 1

Essa questão assusta um pouco porque estamos falando de fatiamento de um sólido gerado por interseção. Relaxa no entanto, que com tranquilidade a gente chega lá. Pra começar, vamos estabelecer eixos:

Note o seguinte, como o sólido foi montado a partir de cilindros iguais, então já sabemos o tamanho de todas as retas dentro da figura acima: r

Show, agora vamos fazer uma seção transversal nessa figura. Note que se o corte for perpendicular ao eixo z ...:

... então todas as seções transversais serão quadradas assim como é a base da figura! Como a área de um quadrado é dada por:

A = l 2

Somando os infinitos quadrados que definem esse sólido, temos então o volume do mesmo:

V = ∫ a b A   d z

E como o quadrado tem área diferente dependendo da altura de corte z , vamos ter:

V = ∫ a b A z   d z = ∫ a b l z 2   d z

Basta então modelar l z e achar os limites de integração pra poder partir pro abraço, beleza? Vamos nessa então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra modelar l z eu vou destacar um pedacinho muito importante do sólido, esse aqui ó:

Destacando esse pedaço e exibindo a altura de corte z vamos ter:

Opa, quer dizer então que dá pra usar Pitágoras? É isso mesmo! Vamos ter:

l 2 + z 2 = r 2

l 2 = r 2 - z 2

l z 2 = r 2 - z 2

Como o volume é:

V = ∫ a b l z 2   d z

E z vai da origem até seu valor máximo, o valor do raio r , fechamos a modelagem da integral, que fica:

V = ∫ 0 r r 2 - z 2   d z

Fazendo as contas:

V = r 2 z - z 3 3 z = 0 z = r = 3 r 2 z - z 3 3 z = 0 z = r

V = 3 r 3 - r 3 3 - 0

V = 2 r 3 3

Como lá do enunciado vimos que o sólido da imagem é, na verdade, 1 8 do sólido total e até agora mexemos só com o sólido da imagem, basta a gente multiplicar o resultado acima por 8 e logo:

V = 16 r 3 3   u . v

Resposta

V = 16 r 3 3   u . v .

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