Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.

d) x = 2 y , x = 0 , y = 9 ; em torno do eixo y .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação da região definida pela curva x = 2 y e as retas x = 0 , y = 9 ; em torno do eixo y .

Sendo assim, nossa região em amarelo vai rotacionar em torno da reta em verde, que é o eixo y . E por isso, as funções estão definidas em função da variável y .

Pelo método dos anéis, nós podemos girar uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo e obter um sólido de revolução em um intervalo [ a ,   b ] . O volume desse sólido vai ser dado pela diferença entre o raio externo ( f ( y ) ) e o raio interno ( g ( y ) ). Assim, temos:

V = ∫ a b ( π f y 2 - π g y 2 ) d y

No nosso caso, f y = 2 y e g y = 0 . Repare que a região em amarelo vai de y = 0 até y = 9 , então será nosso intervalo de integração. Assim, vamos substituir essas informações e calcular a integral para obter o volume de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral, temos:

V = ∫ 0 9 ( π 2 y 2 - π 0 2 ) d y

V = π ∫ 0 9 4 y   d y

Integrando usando a regra da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), temos:

V = π 4 y 2 2 0 9

V = π 2 y 2 0 9

Aplicando os intervalos de integração:

V = 2 π 9 2 - 0 2

V = 2 π 81

V = 162 π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 162 π

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