Encontre o volume do sólido limitado pela superfície z = sec 2 ⁡ y e pelos planos z = 0 ,   x = 0 ,   x = 2 ,   y = 0 ,   y = π 4

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa questão! Vamos lá?

O problema nos deu algumas equações

z = sec 2 ⁡ y

z = 0

  x = 0

  x = 2

  y = 0

  y = π 4

E pediu para descobrirmos o volume limitado por elas! Vom, o volume de algum sólido pode ser dado por uma integral tripla:

∭ V d V

Onde d V é o diferencial de volume. No nosso caso a ordem importa! Precisamos que seja integrado z antes de y , pois z é uma função de y ! Então essa integração precisa vir antes! Então podemos ter assim

d V = d z   d y   d x

Você pode tentar outra ordem (sempre fazendo z antes) e verificar que temos o mesmo resultado!

E os limites de integração? Olhando as equações dá pra ver que os limites ficam assim

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ π 4

0 ≤ z ≤ sec 2 ⁡ y

Beleza? Agora é só montar a integral e #partiu resolver!

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Agora vamos montar a integral! Novo volume é

∭ V d V

Os limites de integração

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ π 4

0 ≤ z ≤ sec 2 ⁡ y

E o diferencial de volume

d V = d z   d y   d x

Agora vamos juntar

∫ 0 2 ∫ 0 π / 4 ∫ 0 sec 2 ⁡ y d z   d y   d x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora é #partiu resolver, primeiro em z :

∫ 0 2 ∫ 0 π 4 ∫ 0 sec 2 ⁡ y d z   d y   d x = ∫ 0 2 ∫ 0 π 4 z 0 sec 2 ⁡ y     d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ y   d y d x

Beleza? Agora vamos integrar em y :

= ∫ 0 2 tan ⁡ y 0 π 4 d x = ∫ 0 2 1 d x

E por fim em x

= x 0 2 = 2 - 0 = 2

Pronto! Essa é nossa resposta!

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

2

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Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d