Responda os itens com respeito à integral

I = 2 π ∫ 0 1 x e x d x

  1. Utilize a fórmula de integração por partes fazendo u = x e d v = e x d x e determine o valor da integral.
  2. Utilize a fórmula de integração por partes fazendo u = e x e d v = x d x e comente por que essa escolha não é boa.
  3. A integral I representa o volume de um sólido gerado pela revolução de uma região, em torno do eixo O y . Descreva as curvas que delimitam essa região no plano.

Passo 1

Pessoal bonito, vamos testar nessa questão várias vezes a mesma integração para ver qual é o melhor jeito.

Começando pela letra “a”, o enunciado nos pede para utilizar a Integração por Partes definindo:

u = x

d v = e x d x

Nossa integral que é:

I = 2 π ∫ 0 1 x e x d x

Nosso foco maior é:

∫ 0 1 x e x d x

Que com essa definição das partes, podemos reescrever essa integral como:

∫ 0 1 x e x d x = ∫ u ⋅ d v

E como usamos a integral por partes? Essa fórmula aqui:

∫ u ⋅ d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Depois que já identificamos quem é o u e quem é o d v , o segundo passo é encontrar o d u :

u = x

Então:

d u = d x

Passo 2

Agora precisamos encontrar quem é v :

d v = e x d x

Então:

v = ∫ d v = ∫ e x d x

Como a derivada de e x é o próprio e x , então a integral de e x é o próprio e x :

v = ∫ d v = ∫ e x d x = e x

Vamos substituir tudo que encontramos na fórmula da integração por partes? Veja:

∫ u ⋅ d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Substituindo:

u = x → d u = d x

d v = e x d x   → v = e x

Então:

∫ x ⋅ e x d x = x ⋅ e x - ∫ e x ⋅ d x

Como já sabemos que a integral de e x é o próprio e x , então:

∫ x ⋅ e x d x = x ⋅ e x - e x

Ajeitando isso, nós temos:

∫ x ⋅ e x d x = e x ( x - 1 )

Vamos voltar para a integral original:

I = 2 π ∫ 0 1 x e x d x = 2 π ⋅ [ e x ( x - 1 ) ] 1 0

Substituindo os valores dos limites da integração e subtraindo entre eles:

I = 2 π ∫ 0 1 x e x d x = 2 π ⋅ e 1 1 - 1 - e 0 0 - 1

Encontramos:

I = 2 π ∫ 0 1 x e x d x = 2 π ⋅ 0 - 1 ⋅ 0 - 1 = 2 π

Fim da Letra “a” com esse resultado lindíssimo, né? Bora pra letra “b”!

Passo 3

Hora de pensar na segunda Integração por partes que ele propõe:

u = e x

d v = x d x

Que com essa definição das partes, podemos reescrever essa integral como:

∫ 0 1 x e x d x = ∫ u ⋅ d v

Já sabemos que a integral por partes é dada pela fórmula:

∫ u ⋅ d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Depois que já identificamos quem é o u e quem é o d v , o segundo passo é encontrar o d u :

u = e x

Fazendo a derivada de e x encontramos ele mesmo:

d u = e x d x

Agora precisamos encontrar quem é v :

d v = x d x

Então:

v = ∫ d v = ∫ x d x

Essa é nada mais do que a integral de um polinômio, então devemos somar uma unidade no expoente e dividir por esse expoente aumentado:

v = ∫ d v = ∫ x d x = x 2 2

Vamos substituir tudo que encontramos na fórmula da integração por partes? Veja:

∫ u ⋅ d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Substituindo:

u = e x → d u = e x d x

d v = x d x   → v = x 2 2

Então:

∫ x ⋅ e x d x = e x ⋅ x 2 2 - ∫ x 2 2 ⋅ e x d x

Viu que entramos em outra integral complicadinha? Esse pedacinho malvado aqui:

∫ x 2 2 ⋅ e x d x

Logo não parece muito que essa escolha de u e v tenha valido a pena no fim das contas. Mas como escolhemos errado, se na primeira questão essa integral deu um valor certo? Bom, isso tudo ficou mais complicado, porque na Integração por Partes devemos escolher u sendo a parcela mais fácil de derivar, enquanto d v deve ser a parcela mais fácil de integrar.

Então por isso, meu caro amigo, nós devemos prestar uma alta atenção em quem nós escolhemos para ser nosso u e nosso d v !

Passo 4

Agora vamos responder a letra “c”, ele nos pede para descrever as curvas que delimitam a área que será rotacionada ao redor do eixo y para gerar esse volume definido pela integral. Não se assuste com isso, vamos começar pensando em Cascas Cilíndricas.

Isso mesmo, as Cascas Cilíndricas são um meio para calcularmos o volume quando rotacionamos alguma figura em torno do eixo y e sua fórmula é dada por:

V = ∫ a b 2 π x ⋅ f x ⋅ d x

Os limites de integração delimitam os valores de x , ou seja, são linhas que delimitam a figura que será rotacionada, enquanto nosso volume dado na questão é:

I = 2 π ∫ 0 1 x e x d x

Veja que se compararmos uma integral com a outra, vemos que as linhas que limitam os valores de x e portanto limitam a figura são:

x = 0

x = 1

Enquanto a função f ( x ) que delimita a área entre o eixo x e ela é:

f x = e x

Então nossa área que será rotacionada para gerar um volume é definida pela função e x e o eixo x e pelas linhas x = 0 e x = 1 .

Resposta

  1. I =   2 π

  2. A escolha não foi adequada de u e d v e por esse motivo encontramos uma integral mais complexa para resolver na fórmula da Integração por Partes. Por isso, devemos escolher uma parcela u mais fácil de derivar e uma parcela d v mais fácil de integrar, como foi feito na letra a .
  3. A área que será rotacionada para gerar um volume é definida pela função e x e o eixo x e pelas linhas x = 0 e x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d