Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto

  1. A = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x y ≤ 2 ,   x 2 + y 2 ≤ 5   e   x > 0 .
  2. A = x , y ∈ R 2 : y ≥ x   e   x - 1 2 + y 2 ≤ 1 .
  3. A = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2   e   e - x ≤ y ≤ e x .
  4. A = { x , y ∈ R 2 : x < 0 ,   y ≤ 1   e   1 / x   ≤ y ≤ 4 / x 2 } .

Passo 1

Para determinar o volume do sólido obtido pela rotação do conjunto

A = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2   e   e - x ≤ y ≤ e x .

em torno do eixo x , podemos utilizar o método da casca cilíndrica.

Primeiro, vamos entender as condições dadas para o conjunto A :

1. 0 ≤   x ≤   2 define a região limitada entre x   =   0   e   x   =   2 no plano x y

2. e - x ≤ y ≤ e x define uma faixa no primeiro quadrante entre as curvas y   =   e - x   e   y   =   e x .

Agora, vamos escrever as coordenadas cilíndricas em termos de \(x\) e \(y\):

[ x   =   r c o s θ ]

[ y   =   r s i n θ ]

As restrições o ≤ x ≤ 2   e   e - x ≤ y ≤ e x em coordenadas cilíndricas se tornam:

0   ≤ r c o s θ ≤ 2

e - r   c o s θ ≤ r   s i n θ ≤ e r   c o s θ

Passo 2

Agora, podemos escrever o integral para calcular o volume:

V = 2 π ∫ 0 2 x ⋅ e x - e - x d x

V = 2 π ∫ 0 2 x ⋅ e x - x ⋅ e - x d x

Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes:

∫ x   ⋅ e x , d x   =   x   ⋅ e x -   ∫ e x , d x   =   x   ⋅ e x -   e x ]

∫ x   ⋅ e - x , d x   =   - x   ⋅ e - x -   ∫ - e - x d x   =   - x   ⋅ e - x +   e - x

Substituindo na integral original:

V   =   2 π x   ⋅ e x -   e x -   - x   ⋅ e - x +   e - x 0 2

V   =   2 π 2 e 2 -   e 2 +   2 e - 2 -   e - 2 -   0   +   1

V   =   2 π 2 e 2 -   e 2 +   2 e - 2 -   e - 2 +   1

V   =   2 π 2 e 2 +   2 e - 2

V   =   4 π e 2 +   e - 2

V   =   4 π ⋅ e 4 + 1 e 2

V   =   4 π ⋅ e 4 e 2 +   4 π ⋅ 1 e 2

V   =   4 π e 2 +   4 π ⋅ 1 e 2

V = 4 π ( e 2 + e - 2 )

Resposta

V = 4 π ( e 2 + e - 2 )

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d