Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Lista Volume por Fatiamento – Q47- Calc II UFCG

Encontre o volume do sólido cuja base é a região delimitada pelas curvas y = x e y = x ² cujas seções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados

Passo 1

Bem, a gente não tem e nem vai ter a cara dessa figura, infelizmente, pra ajudar a gente. Mas relaxa gafanhoto, ainda da pra se safar. Pra começar, vamos enxergar a base da figura. Pra saber em quais valores de x a região da base se fecha basta igualar:

y = x 2

y = x

E logo:

x 2 = x

x 2 - x = 0

x x - 1 = 0

As soluções são então x = 0   e x = 1 . Show de bola. Como y = x 2 é uma parábola e y = x uma reta, o gráfico da região que representa a base vai ser:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, beleza, temos a base. Mas como isso nos ajuda? Bem, da uma olhada numa informação crucial do exemplo:

“ . . .   c u j a s   s e ç õ e s   t r a n s v e r s a i s   p e r p e n d i c u l a r e s   a o   e i x o   x   s ã o   q u a d r a d o s . ”

Se as seções transversais são perpendiculares ao eixo x , no plano X Y , podemos marcar algumas retas representando diferentes cortes transversais:

E olha só! Como essas sessões são quadradas essas linhas vermelhas não só são as bases do corte transversal, mas também a altura! Como cada linha vermelha tem o tamanho:

l = x - x 2

E como a área de um quadrado é:

A = l 2

Vamos ter:

A = x - x 2 2

A x = x 4 - 2 x 3 + x 2

Opa, show de bola, modelamos a área da seção transversal em função da posição x de corte. Somando os infinitos quadrados que existem nesse sólido entre 0 e 1 , onde a base do sólido está definida, temos:

V = ∫ a b A x d x

V = ∫ 0 1 x 4 - 2 x 3 + x 2   d x

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro, basta a gente resolver a integral:

V = ∫ 0 1 x 4 - 2 x 3 + x 2   d x

V = x 5 5 - 2 x 4 4 + x 3 3   x = 0 x = 1 = 12   x 5 - 30   x 4 + 20   x 3 60   x = 0 x = 1

V = 12   - 30 + 20   60 - 0 = 2 60 = 1 30   u . v .

V = 1 30   u . v .

Resposta

V = 1 30   u . v .

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