Calcule os limites:

lim x → 1 ⁡ x e x - e x - 1

Passo 1

Fala aí, galera!!! Se a gente fizer o limite aqui direto pra ver no que acontece, a gente percebe que teremos uma indeterminação porque vamos ter 0/0

Então pra isso a gente precisa fazer umas mágicas, ou melhor, vamos fazer a mágica chamada regra de L’Hopital. O que ela diz pra gente? Em resumo que se a gente tiver uma indeterminação, podemos ir derivando até que essa indeterminação acabe. Vem comigo que você vai entender o que eu tô dizendo!!

Passo 2

Vamos pegar nosso argumento de dentro do limite:

e x + x 3 - e - 1 x - 1

O problema aqui é que x → 1 e aí embaixo vai dar 0, não tem problema dar zero no numerador, mas sim no denominador e numerador ao mesmo tempo. Então a gente pode tentar eliminar isso. Basta a gente derivar o numerador e denominador.

d d x x e x - e

Podemos dividir isso aqui em duas derivadas:

d d x x e x - d d x e

d d x e = 0

d d x x 1 2 e x → R e g r a   d a   d e r i v a d a   n a   m u l t i p l i c a ç ã o  

Pra gente lembrar essa regra diz pra gente o seguinte: a derivada de f x g x é igual a f ' x g x + f x g ' x

Então vamos fazer isso:

d d x x 1 2 e x = d d x x 1 2 e x + x 1 2 d d x e x

d d x x 1 2 e x + x 1 2 d d x e x = 1 2 x 3 2 e x + x 1 2 e x

Enquanto no denominador do argumento dentro do limite temos:

d d x x - 1 = 1

Passo 3

Agora a gente aplica ao limite com essas derivadas feitas:

lim x → 1 ⁡ 1 2 x 3 2 e x + x 1 2 e x 1 =   e x 2 + e x = 3 e x 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x e x - e x - 1 = 3 e x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln