Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Encontre o valor de a que satisfaz a igualdade:

lim x → ∞ ⁡ 1 + e 2 x 2 a / x

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos calcular normalmente o limite como se a fosse um número qualquer e depois igualamos a e .

lim x → ∞ ⁡ 1 + e 2 x 2 a / x ⟹ ∞ 0

Que é uma das indeterminações de L’Hôpital. Vamos tentar chegar nas indeterminações zero sobre zero ou infinito sobre infinito para poder aplicar a regra. Para tal, vamos usar e e ln: lim x → ∞ ⁡ 1 + e 2 x 2 a / x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + e 2 x 2 a / x

Usando a propriedade da potência no log e jogando o limite para dentro:

lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + e 2 x 2 a / x = e l i m x → ∞ a x ln ⁡ 1 + e 2 x 2

Vamos analisar o limite no expoente:

l i m x → ∞ a x ln ⁡ 1 + e 2 x 2 ⟹ ∞ ∞

Podemos então aplicar L’Hôpital. Derivando em cima e embaixo:

l i m x → ∞ a x ln ⁡ 1 + e 2 x 2 = l i m x → ∞ a ln ⁡ 1 + e 2 x 2 ' x ' = a l i m x → ∞ 2 1 + e 2 x ⋅ 1 2 ⋅ 2 e 2 x 1

= a l i m x → ∞ 2 e 2 x 1 + e 2 x = 2 a l i m x → ∞ e 2 x e 2 x ⋅ 1 1 + 1 / e 2 x = 2 a l i m x → ∞ 1 1 + 1 / e 2 x = 2 a  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembre-se que esse limite está dentro de uma exponencial, ficando:

lim x → ∞ ⁡ 1 + e 2 x 2 a x = e 2 a

Agora podemos igualar para achar a :

e 2 a = e = e 1 / 2

Como temos a mesma base, podemos igualar os expoentes: 2 a = 1 2 ⟹ a = 1 4

Resposta

a = 1 4

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