Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Passo 1

Pra esse limite, vamos usar a propriedade da exponencial com o log:

f x = e ln ⁡ f x

lim x → 0 + ⁡ x x 2 = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x x 2

Temos a propriedade do log de uma exponencial, de onde fica:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x x 2 = lim x → 0 + ⁡ e x 2 ( ln ⁡ x ) = e lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x

Vamos focar no limite do expoente:

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nesse limite, substituindo temos uma indeterminação:

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = 0 2 ln ⁡ 0 + = 0 - ∞

Vamos transformar essa indeterminação em um quociente e aplicar L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x 2 = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - 2

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - 2 → L ' H lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ' x - 2 ' = lim x → 0 + ⁡ 1 x - 2 1 x 3

= lim x → 0 + ⁡ x 2 - 2 = 0 2 - 2 = 0

Passo 3

Logo, o resultado será

lim x → 0 + ⁡ x x 2 = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x x 2 = e lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = e 0 = 1

lim x → 0 + ⁡ x x 2 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x x 2 = 1

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