Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 + ⁡ e - 1 x ln ⁡ x

Passo 1

A primeira coisa a fazer, como em todo limite, é substituir o valor da função no ponto:

lim x → 0 + ⁡ e - 1 x ln ⁡ x = e - ∞ ⋅ ln ⁡ 0 + = 0 ⋅ - ∞

Essa é uma indeterminação típica de L’Hôpital. Vamos então manipulá-la para aplicar a técnica.

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Passo 2

Para poder aplicar a técnica, precisamos de uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ . Para chegar lá, vamos jogar a exponencial para baixo, dividindo:

lim x → 0 + ⁡ e - 1 x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 e - 1 x

Como:

1 a - 1 = a

Então:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 e - 1 x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x e 1 x = ∞ ∞

Agora podemos aplicar L’Hôpital!

Passo 3

Para tal, derivamos em cima e em baixo:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x e 1 x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ' e 1 x '

Sendo:

ln ⁡ x ' = 1 x

E, pela regra da cadeia: e 1 x ' = d e u d u ⋅ d u d x

Com u = 1 / x , ficando:

d e u d u = e u ' = e u = e 1 / x

d u d x = 1 x ' = - 1 x 2

e 1 x ' = - e 1 x x 2

Substituindo no limite:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ' e 1 x ' = l i m x → 0 + 1 x - e 1 x x 2 = l i m x → 0 + - x e 1 x = 0 ∞ = 0

Pronto!

Resposta

lim x → 0 + ⁡ e - 1 x ln ⁡ x = 0

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