Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

O valor do limite lim x → ∞ ⁡ x sen ⁡ 1 2 x  

É igual a:

Passo 1

Temos aqui uma indeterminação do tipo ∞ 0 . Vamos então elevar a e e aplicar ln:

lim x → ∞ ⁡ x sen ⁡ 1 2 x   = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ x sen ⁡ 1 2 x   = lim x → ∞ ⁡ e sen ⁡ 1 2 x   ln ⁡ x = e l i m x → ∞ ln ⁡ x cossec ⁡ 1 2 x    

Para o limite agora temos:

l i m x → ∞ ln ⁡ x cossec ⁡ 1 2 x   → ∞ ∞

Que podemos aplicar L’Hôpital:

l i m x → ∞ ln ⁡ x cossec ⁡ 1 2 x   = l i m x → ∞ 1 / x cossec ⁡ 1 2 x cotg ⁡ 1 2 x ⋅ 1 2 x 2   = l i m x → ∞ 4 x cossec ⁡ 1 2 x cotg ⁡ 1 2 x   → ∞ ∞

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos observar aquele limite:

l i m x → ∞ 4 x cossec ⁡ 1 2 x cotg ⁡ 1 2 x  

Podemos escrevê-lo na forma:

l i m x → ∞ 4 x cossec ⁡ 1 2 x cotg ⁡ 1 2 x   = l i m x → ∞ 4 x   ⋅ sen ⁡ 1 2 x ⋅ tg ⁡ 1 2 x

Separando os limites:

l i m x → ∞ 4 x   ⋅ sen ⁡ 1 2 x ⋅ tg ⁡ 1 2 x = l i m x → ∞ 4 x   ⋅ sen ⁡ 1 2 x ⋅ l i m x → ∞ tg ⁡ 1 2 x

Para o limite da direita:

l i m x → ∞ tg ⁡ 1 2 x = l i m x → ∞ sen ⁡ ( 1 / 2 x ) cos ⁡ ( 1 / 2 x ) → sen ⁡ 0 cos ⁡ 0 = 0 1 = 0

Sobrou:

l i m x → ∞ 4 x   ⋅ sen ⁡ 1 2 x

Se tomarmos u = 1 / 2 x , teremos:

x = 1 / 2 u

E quando:

x → ∞ u → 0

Dessa forma:

l i m x → ∞ 4 x   ⋅ sen ⁡ 1 2 x = l i m x → ∞ 4 ⋅ 1 2 u ⋅ sen ⁡ u = 2 ⋅ l i m x → ∞ sen ⁡ u u = 2 ⋅ 1 = 2

Sendo este último um limite fundamental de valor 1 . Dessa maneira:

l i m x → ∞ 4 x   ⋅ sen ⁡ 1 2 x ⋅ tg ⁡ 1 2 x = 2 ⋅ 0 = 0

Passo 3

Talvez você não se lembre, mas esse limite estava dentro de uma exponencial, vamos substituir novamente:

e l i m x → ∞ ln ⁡ x cossec ⁡ 1 2 x   = e l i m x → ∞ 4 x   ⋅ sen ⁡ 1 2 x ⋅ tg ⁡ 1 2 x = e 0 = 1

Ufa!

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