Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

b ) Calcule, caso exista, lim x → 0 ⁡ 3 x + cos ⁡ x 1 / sen ⁡ 35 x .

Passo 1

É o caso clássico que temos que usar essa relação aqui de exponencial-logaritmo:

a = e ln ⁡ a

3 x + cos ⁡ x 1 sen ⁡ 35 x = e ln ⁡ 3 x + cos ⁡ x 1 sen ⁡ 35 x

= e ln ⁡ 3 x + cos ⁡ x sen ⁡ 35 x

O limite vai ficar assim:

lim x → 0 ⁡ 3 x + cos ⁡ x 1 sen ⁡ 35 x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 3 x + cos ⁡ x sen ⁡ 35 x

= e ln ⁡ 0 + 1 sen ⁡ 0 = e 0 0

Temos uma indeterminação no expoente! Vamos concentrar nesse limite e usar L’Hospital nele. Depois basta substituir o resultado no expoente do e :

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 3 x + cos ⁡ x sen ⁡ 35 x → L ' H lim x → 0 ⁡ 3 - sen ⁡ x 3 x + cos ⁡ x 35 cos ⁡ 35 x

= 3 - sen ⁡ 0 3 0 + cos ⁡ 0 ( 35 ) ( cos ⁡ 35 ( 0 ) ) = 3 ( 1 ) ( 35 ) ( 1 ) = 3 35

Logo, o limite será e elevado a esse expoente:

lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 3 x + cos ⁡ x sen ⁡ 35 x = e 3 35

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Resposta

lim x → 0 ⁡ 3 x + cos ⁡ x 1 / sen ⁡ 35 x = e 3 35

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