Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x

Passo 1

Caramba, esse limite é gigante, vamos ver o que acontece com ele: lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x ⟹ 1 e ⋅ 1 ∞ ∞  

Hummm. Não ficou muito claro se é uma das indeterminações de L’Hôpital, mas vamos dar uma manipulada na expressão para ver se conseguimos chegar em zero sobre zero ou infinito sobre infinito.

Para tal, vamos aplicar e e ln: lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = l i m x → 0   e ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x

Jogando o limite para dentro: … = e l i m x → 0 ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x

Vamos analisar esse limite de dentro. Usando a propriedade do log:

l i m x → 0 ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 e 1 + x 1 x = l i m x → 0 1 x ln ⁡ 1 e x 1 + x 1 x

= l i m x → 0 1 x 2 ln ⁡ x + 1 e x = l i m x → 0 ln ⁡ x + 1 e x x 2 ⟹ ln ⁡ 1 0 ⟹ 0 0

Que é uma das indeterminações que queríamos. Vamos então derivar em cima e em baixo:

l i m x → 0 ln ⁡ x + 1 e x x 2 = l i m x → 0 ln ⁡ x + 1 e x ' x 2 ' = l i m x → 0 e x x + 1 ⋅ x + 1 e x ' 2 x = l i m x → 0 e x x + 1 ⋅ - ⅇ - x x 2 x =

l i m x → 0 - x 2 x x + 1 = l i m x → 0 - 1 2 x + 1 = - 1 2

Substituindo direito, já que não há mais indeterminação:

l i m x → 0 e 2 x 2 x + 1 3 = e 0 2 ⋅ 1 3 = - 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembre-se que esse limite está dentro de uma exponencial:

lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = e l i m x → 0 e 2 x 2 x + 1 3 = e - 1 / 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 e 1 + x 1 x 1 x = e - 1 / 2

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