Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hôspital

Calcule:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x

Passo 1

Primeiramente devemos substituir o valor de x a equação para encontrarmos a indeterminação.

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x = sen ⁡ 0 sen ⁡ 0 = 0 0

Encontramos então uma indeterminação do tipo 0 0 , vamos fazer uma manipulação algébrica para encontrarmos uma indeterminação onde possamos usar L’Hôspital.

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Passo 2

Vamos reescrever

sen ⁡ x sen ⁡ x = e sen ⁡ x ln ⁡ ( sen ⁡ x )

Como e x é uma função contínua

lim x → 0 + ⁡ e sen ⁡ x ln ⁡ ( sen ⁡ x ) = e lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ ( sen ⁡ x )

Devemos então achar

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ ( sen ⁡ x )

Passo 3

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ ( sen ⁡ x )

Se substituirmos o valor de x vamos encontrar

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ ( sen ⁡ x ) = sen ⁡ 0 ln ⁡ sen ⁡ 0 = 0 ⋅ - ∞

Passa mos a ter uma indeterminação do tipo 0 ⋅ - ∞ e para usar L’Hôspital devemos fazer uam nova manipulação algébrica.

Passo 4

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ ( sen ⁡ x ) = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x 1 / sen ⁡ x  

Podemos usar a regra de L’Hôspital agora

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x 1 / sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x cossec ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x ' cossec ⁡ x '

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x ' cossec ⁡ x ' = lim x → 0 + ⁡ ( sen ⁡ x   ) ' / sen ⁡ x - cossec ⁡ x ⋅ cotg ⁡ x = - lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x / sen ⁡ x cossec ⁡ x ⋅ cotg ⁡ x

Dando uma arrumada algébrica vamos ter

- lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x / sen ⁡ x cossec ⁡ x ⋅ cotg ⁡ x = - lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x   sen ⁡ x 1 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x sen ⁡ x = - lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x   sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x sen ⁡ x

- lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x   sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x sen ⁡ x = - lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x   sen ⁡ x ⋅ sen ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x = - lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x = - sen ⁡ 0 = 0

Passo 5

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x = e lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ ( sen ⁡ x ) = e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x = 1

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