Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

Resolva os itens abaixo:

I I Determine o valor de c para que a função f   : - ∞ , 2 → R definida abaixo seja contínua em x = 0 . Justifique sua resposta.

f x = x + c ,                                                                             s e   x ≤ 0 2 + x 2 - x 1 x ,                                             s e   0 < x < 2

Passo 1

Para que uma função seja contínua num ponto qualquer temos que ter os limites laterais batendo, bem como o valor da função no ponto. Fazendo isso para x = 0 :

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f 0

lim x → 0 - ⁡ x + c = lim x → 0 + ⁡ 2 + x 2 - x 1 x = 0 + c

c = lim x → 0 + ⁡ 2 + x 2 - x 1 x

Agora tudo se resume a calcular esse limite aí e teremos o c . Ele gera uma indeterminação de expoente:

c = lim x → 0 + ⁡ 2 + x 2 - x 1 x = 2 + 0 2 - 0 1 0

= 2 2 ∞ = 1 ∞

Vamos usar uma propriedadezinha para transformar essa indeterminação em um quociente:

a = e ln ⁡ a → lim x → 0 + ⁡ 2 + x 2 - x 1 x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 2 + x 2 - x 1 x

c = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 2 + x 2 - x x = e 0 0

E temos uma indeterminação nesse expoente. Vamos calculá-lo separadamente para então voltarmos para essa equação e substituirmos o valor achado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo então o limite do expoente:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 + x 2 - x x → L ' H lim x → 0 + ⁡ 2 + x 2 - x ' 2 + x 2 - x x '

= lim x → 0 + ⁡ 2 + x ' 2 - x - 2 + x 2 - x ' 2 - x 2 2 + x 2 - x = lim x → 0 + ⁡ 2 - x + 2 + x 2 - x 2 + x

= lim x → 0 + ⁡ 4 2 - x 2 + x = 4 2 - 0 2 + 0

= 4 2 2 = 4 4 = 1

Assim, voltando ao limite de antes, matamos o valor de c :

c = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 2 + x 2 - x x = e 1

c = e

Resposta

c = e

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