5) Calcule cada um dos limites abaixo.

i) lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Nesse exercício nos deparamos com um limite um pouco estranho

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2

A primeira coisa que a gente faz é testar o que acontece quando substituímos aquele x = 0 na nossa função:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2 = cos ⁡ 0 1 / 0 = 1 ∞

EPA! Nos deparamos com uma indeterminação... mas calma lá, essa indeterminação é bem manjada. Geralmente a gente usa a regra de L’Hospital e essa é a nossa tentativa aqui. A primeira coisa que a gente tem que fazer é manipular essa expressão para obter uma outra forma dela em que a gente pode aplicar a regra, ok? Então partiu fazer isso!!

Passo 2

Bom quando a gente se depara com uma indeterminação do tipo 1 ∞ a gente usa a propriedade dos logs para reescrever a nossa expressão:

e ln ⁡ a = a

Então a nossa expressão é:

cos ⁡ x 1 / x 2 = e ln ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2

Aí agora a gente tem outra propriedade dos logs:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

Fazendo isso na nossa função, temos

e ln ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2 = e ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2

Ficou feio né? Mas olha o que acontece se a gente tentar tirar o limite com essa função daí: lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 =   lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2 = e ln ⁡ ( cos ⁡ 0 ) 0 = e ln ⁡ ( 1 ) 0 = e 0 0  

E aí caímos em uma indeterminação do tipo 0 / 0 ... EBA! Aqui podemos usar a regra de L’Hospital!

Passo 3

O limite que a gente tem que trabalhar agora é

lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2 = e l i m x → 0 ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2  

A gente viu que o limite

l i m x → 0 ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2 = 0 / 0

Então usamos a regra de L’Hospital para resolver esse cara:

l i m x → 0 ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2 =   l i m x → 0 ( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) ' ( x 2 ) '

Precisamos, então, calcular essas derivadas aí!

A primeira delas a gente usa a regra da cadeia, então temos:

ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ' = 1 cos ⁡ x cos ⁡ x ' =   - sen ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ' =   - tan ⁡ x

A segunda derivada é:

x 2 ' = 2 x

Passo 4

A regra de L’Hospital nos deu:

l i m x → 0 ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2 =   l i m x → 0 ( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) ' ( x 2 ) '

Usando as derivadas que calculamos temos:

l i m x → 0 ( ln ⁡ ( cos ⁡ x ) ) ' ( x 2 ) ' =   lim x → 0 ⁡ - tan ⁡ x 2 x

Aplicando o valor de x nos deparamos com

lim x → 0 ⁡ - tan ⁡ x 2 x =   - tan ⁡ 0 0 = 0 0

AAAAH! Outra indeterminação... mas a gente nem esquenta, é só usar a regra de L’Hospital mais uma vez!

Passo 5

Nosso limite que precisamos resolver agora é:

lim x → 0 ⁡ - tan ⁡ x 2 x

A regra de L’Hospital nos permite escrever:

lim x → 0 ⁡ - tan ⁡ x 2 x =   lim x → 0 ⁡ - tan ⁡ x ' 2 x '

Usando as derivadas temos

lim x → 0 ⁡ - tan ⁡ x ' 2 x ' =   lim x → 0 ⁡ - sec 2 ⁡ x 2

Aplicando o limite a gente obtém

lim x → 0 ⁡ - sec 2 ⁡ x 2 =     - sec 2 ⁡ 0 2

Como sec ⁡ 0 = 1 temos, finalmente

lim x → 0 ⁡ - sec 2 ⁡ x 2 =   - 1 2

OBA! Nos livramos dos problemas... A gente só não pode se esquecer que essa não é a nossa resposta. O que a gente estava calculando era:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2 = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2 =   e l i m x → 0 ln ⁡ ( cos ⁡ x ) x 2    

E aí a gente conseguiu ver que aquele limite no expoente deu - 1 2 , então temos na verdade:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2 = e - 1 / 2  

Resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 / x 2 = e - 1 / 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln